Primtall-ligning
Posted: 05/10-2007 18:30
Finn alle primtall p og q så [tex]p^3-q^5=(p+q)^2[/tex].
Den diofantiske likningen
[tex](1) \;\;\; p^3 \:-\: q^5 \; = \; (p \:+\: q)^2 \; \pmod{3} \;\; [/tex] (p og q er primtall)
gir kongruenslikningen
[tex](2) \;\;\; p^3 \:-\: q^5 \; \equiv \; (p \:+\: q)^2 \; \pmod{3}.[/tex]
Ved innsetning finner vi at ingen av de 4 restparene [tex](p,q)[/tex] der [tex]p,q \in \{1,2},[/tex] tilfredsstiller (2). Ergo må p=3 eller q=3. Ifølge (1) må [tex]p^3 \:-\: 2^5 \;>\; 0,[/tex] dvs. at p > 3. Altså er q=3, som innsatt i (1) resulterer i kongruenslikningen
[tex]q^5 \:+\: q^2 \; \equiv \; 3^2(3^3 \:+\: 1) \;=\; 3^2 \, \cdot \, 2^2 \, \cdot \, 7 \; \equiv \; 0 \; \pmod{p}.[/tex]
Herav følger at p=7 er eneste mulighet. I.o.m. at
[tex]7^3 \:-\: 3^5 \;=\; 343 \:-\: 243 \;=\; 100 \;=\; (7 \:+\: 3)^2, [/tex]
kan vi konkludere med at kongruenslikningen (1) kun har en løsning, nemlig (p,q) = (7,3).