matematikk.net

Trenger hjelp med noen bevisopggaver:

1) Vi at det ikke finnes noen brøk a/b som er slik at (a/b)^2=3

Det jeg har gjort er å regne om a/b= [symbol:rot] 3
slik at jeg har fått a^2=3b^2. etter det kommer jeg ikke lenger, men har ikke peiling på om det er noe riktig det jeg gjør.

2) vis at n^5+4n er deleling med 5.
det står at jeg skal setter n=5t+p og regner ut n^5+4 .

Takker dem som gidder å hjelpe meg:)

Tja, a^2 er delelig med 3; da skulle det være rimelig at a er delelig med 3 også, ikke sant?

Istedet for å prøve å bevise dette "rimelige" utsagnet (som er riktig), prøv å anvende det!

Det vil si:
Anta at a^2 delelig med 3 impliserer a=3*k, hvor k er et heltall.

Hva må da gjelde for tallet b?

Generelt gjelder det at med mindre [tex]\sqrt{n}[/tex] er et naturlig tall, så er [tex]\sqrt{n}[/tex] et irrasjonalt tall. Lett å vise, på samme måte som jeg viser det for n=3:

[tex]\sqrt{3} = \frac{a}{b}[/tex]

[tex]a^2 = 3b^2[/tex]

Anta at a har primtallsfaktorisering [tex]p_1 \cdot p_2 \cdot ... p_m[/tex] og b har primtallsfaktorisering [tex]q_1 \cdot q_2 \cdot ... q_n[/tex]. Da er

[tex](p_1 \cdot p_2 \cdot ... p_m)^2 = 3 \cdot (q_1 \cdot q_2 \cdot ... q_n)^2[/tex].

Vi ser at faktoren 3 er representert et partall antall ganger på venstresiden, mens den er representert et oddetall antall ganger på høyresiden. Dette strider mot Aritmetikkens fundamentalteorem, altså har vi en selvmotsigelse. [tex]\sqrt{3}[/tex] må være irrasjonalt.

1)

Antar at [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er heltall.

Dersom [tex](\frac{a}{b})^2 = 3[/tex] må

[tex]\frac{a}{b} = \pm \sqrt{3}[/tex] (*)

[tex]\sqrt{3}[/tex] er et irrasjonalt tall, dvs kan ikke skrives som en brøk dermed har ikke (*) noen løsningen når [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er heltall.

Dermed finnes det ingen brøk som er slik at [tex](\frac{a}{b})^2 = 3[/tex]


Edit: Ser at noen kom før meg

Tror du har sneket deg litt rundt problemet, ettam, meningen var helt sikkert å bevise at [tex]\sqrt{3}[/tex] er irrasjonalt.

mastoks wrote:Trenger hjelp med noen bevisopggaver:

2) vis at n^5+4n er deleling med 5.
det står at jeg skal setter n=5t+p og regner ut n^5+4 .

Ikke helt...

[tex]n= 5t+p[/tex] setter du det inn i [tex]n^5+4n[/tex] og viser at det du da får er delelig med 5.

sEirik wrote:Tror du har sneket deg litt rundt problemet, ettam, meningen var helt sikkert å bevise at [tex]\sqrt{3}[/tex] er irrasjonalt.

Du kan kanskje lese oppgaven slik, men jeg mener at det ikke spørres slik...

Pr. definisjon er roten av 3 det tallet som kvadrert gir 3.

Derfor spør oppgaven eksplisitt om at du skal bevise at roten av tre ikke er et brøktall.

okey, jeg gir meg...

sEirik wrote:
[tex](p_1 \cdot p_2 \cdot ... p_m)^2 = 3 \cdot (q_1 \cdot q_2 \cdot ... q_n)^2[/tex].

Vi ser at faktoren 3 er representert et partall antall ganger på venstresiden, mens den er representert et oddetall antall ganger på høyresiden. Dette strider mot Aritmetikkens fundamentalteorem, altså har vi en selvmotsigelse. [tex]\sqrt{3}[/tex] må være irrasjonalt.

Takk for hjelpen, men jeg er ikke helt med når du sier at faktoren 3 er representert et partall antall ganger på venstre side og et oddetall antall ganger på høyresiden? kan du forklare litt nærmere på akkurat det?

Aritmetikkens fundamentalteorem sier at alle heltall kun kan faktoriseres på en måte; dvs at du kan skrive den som et produkt av primtall på bare en måte. Det du kom fram til, var at p^2=3*q^2, sant? Tenk deg så at du faktoriserer p og q, som begge er hele tall. Samme hvor mange ganger 3 er representert i faktoriseringen av p, må den være representert dobbelt så mange ganger i p^2, sant? Altså er antallet 3-tall i faktoriseringen av p^2 et partall. Det samme gjelder for q^2, men her har du i et tretall 'ekstra', så det antallet 3-tall i faktoriseringen av høyresiden. Problemet er det at det skal være like mange 3-tall-faktorer på begge sider, og et partall aldri er lik et oddetall.