matematikk.net

Finn enhetsnormalvektoren til flaten E^3. Flaten er definert som en nivåflate for funksjonen f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

Vi har da benyttet et kartesisk koordinatsystem med ( x, y, z) som koordinater for punktene.
Den nivåflaten det er snakk om er den som går gjennom punktet (1, 2,
3).

Benytt det du vet om gradienten til f til å finne en slik enhetsnormalvektor for et vilkårlig
punkt på flaten og velg enhetsvektoren slik at den får positiv z-komponent.????

En nivåflate er gitt ved

[tex]x^2+y^2+z^2=c[/tex] (kuleflate med radius lik roten av c)

Da gjelder at [tex]\nabla(x^2+y^2+z^2-c)[/tex] vil være en normalvektor til nivåflaten. Altså har vi at

[tex][2x,2y,2z][/tex] er en slik normalvektor.

En enhetsnormalvektor finner vi ved å dividere med lengden av vektoren, altså [tex]|[2x,2y,2z]|=\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}[/tex]

Dette gir at [tex]\vec n=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[x,y,z]=\frac{1}{\sqrt{c}}[x,y,z][/tex] er en slik enhetsnormalvektor.

Det gjenstår å bestemme [tex]c[/tex]. Det gjøres ved å benytte at (1,2,3) ligger på flaten:

[tex]1^2+2^2+3^2=c[/tex], altså [tex]c=14[/tex]

Endelig kan vi konkludere med at en enhetsnormalvektor til flaten er gitt ved
[tex]\vec n=\frac{1}{\sqrt{14}}[x,y,z][/tex]

For å sikre positiv tredjekomponent, må man kompensere med et minustegn foran uttrykket for enhetsvektoren dersom [tex]z[/tex] er negativ.