matematikk.net

En enhetsvektor er en vektor med lengde 1, slik som vektor e(x) og vektor e(y)

Vis at (vektor v brøkstrek |vektor v|) er en enhetsvektor som har samme retning som vektor v.

Denne vet jeg ikke fremgangsmetoden til, og eksemplet i boka er elendig, så jeg sitter fast, og skulle gjerne kunnet dette før prøven vi skal ha om ikke altfor lenge.En annen som er også et slit er:

14a. Bestem a slik at avstanden mellom punktene P=(a,a+1) og Q=(2-a,2a) blir minst ,mulig. (Hint |vektor PQ|har sin minste verdi når |vektor PQ|^2 har sin minste. Bruk derivasjon)

PQ=OQ-OP=[2-a, 2a]-[a,a+1]=[2-a-a,2a-a+1]=[2-2a, a+1]

[derfra har jeg ikke peiling, prøvde i det minste med det jeg kunne]

En enhetsvektor kjennetegnes ved at lengden er lik 1.

La oss si vi har en vektor v som går a i x-retning, og b i y-retning:

[tex]\vec{v} = [a,b][/tex]

Lengden er:

[tex]|\vec{v}| = \sqrt{a^2+b^2}[/tex]

Vi vil nå finne ut hva vi må gange denne vektoren med for at lengden skal bli 1.
[tex]|x\vec{v}|=1 \Rightarrow x\sqrt{a^2+b^2}=1 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

Vi fant x som gjorde lengden til [tex]\vec{v}[/tex] lik en. Altså: Enhetsvektoren til v er:
[tex]e_{\small{\vec{v}}} = \frac{[a,b]}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}[/tex]

Vi kan teste dette for en bedre forståelse:

[tex]e_{\small{\vec{v}}}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{[a,b]}{\sqrt{a^2+b^2}} = [\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}][/tex]

Lengden av denne skal være lik 1, så vi finner lengden:
[tex]|e_{\small{\vec{v}}}| = (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 = \frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1[/tex]

[tex]P(a,a+1) \ , \ Q(2-a,2a)[/tex]

[tex]\vec{PQ} = [2-2a,a-1][/tex]


Lengden av PQ er:

[tex]|\vec{PQ}| = (2-2a)^2+(a-1)^2 = 5a^2-10a+5[/tex]
Vi setter dette lik vektorfunksjonen [tex]\vec{r}(t)[/tex]:

[tex]\vec{r}(t)=5a^2-10a+5[/tex]

Vi vil finne den minste verdien av dette, så vi finner bunnpunktet ved å derviere, med hensyn på a, lengden av vektoren PQ, altså vektorfunksjonen [tex]\vec{r}(t)[/tex]:

[tex]\vec{r}^\prime(t)=\frac{d\vec{r}}{da}=10a-10[/tex]

Vi finner når uttrykket blir 0, for å finne hvor stigningstallet funksjonen [tex]\vec{r}(t)[/tex] er lik 0, altså hvor funksjonen enten er i et bunnpunkt eller toppunkt (Siden funksjonen er et annengradsuttrykk med positiv konstant foran andregradsleddet har parabelen kun et bunnpunkt):

[tex]\vec{r}^\prime(t)=0 \Rightarrow 10a-10=0 \Rightarrow a=1[/tex]

Punktene P, og Q vil altså ha koordinatene:

[tex]P(1,2) \ , \ Q(1,2)[/tex]

Jarle10 wrote:[tex]P(a,a+1) \ , \ Q(2-a,2a)[/tex]

[tex]\vec{PQ} = [2-2a,a-1][/tex]


Lengden av PQ er:

[tex]|\vec{PQ}| = (2-2a)^2+(a-1)^2 = 5a^2-10a+5[/tex]
Vi setter dette lik vektorfunksjonen [tex]\vec{r}(t)[/tex]:

[tex]\vec{r}(t)=5a^2-10a+5[/tex]

Vi vil finne den minste verdien av dette, så vi finner bunnpunktet ved å derviere, med hensyn på a, lengden av vektoren PQ, altså vektorfunksjonen [tex]\vec{r}(t)[/tex]:

[tex]\vec{r}^\prime(t)=\frac{d\vec{r}}{da}=10a-10[/tex]

Vi finner når uttrykket blir 0, for å finne hvor stigningstallet funksjonen [tex]\vec{r}(t)[/tex] er lik 0, altså hvor funksjonen enten er i et bunnpunkt eller toppunkt (Siden funksjonen er et annengradsuttrykk med positiv konstant foran andregradsleddet har parabelen kun et bunnpunkt):

[tex]\vec{r}^\prime(t)=0 \Rightarrow 10a-10=0 \Rightarrow a=1[/tex]

Punktene P, og Q vil altså ha koordinatene:

[tex]P(1,2) \ , \ Q(1,2)[/tex]

Bare for å skjekke at jeg forstod dette, setter jeg opp en oppgave som følger samme oppsett. Men svaret skal bli 12/13.

R=(2-1,a), S=(2a,3-a)
vektor RS=[2a-(2-a), 3-a-a]
=[a-2,3-2a]

|vektor RS|=(a-2)^2+(3-2a)^2
|vektor RS|=5a^2-16a+13

r(t)=5a^2-16a+13
r'(t)=10a-16
r'(t)=0=>10a-16=0 =>a=16/10(stemmer ikke med fasit, altså er noe feil)

R(-14,16), S(22,-13)

Eh.. kan noen se feilen?

Slik gjør man dette:

Altså en enhetsvektor viser hvilke retning og hvor mange enheter pr retning du kan/skal gå. Definisjonene: ex = mot høyre -ex = mot venstre ey= oppover -ey= nedover. La oss tenke oss en vektor v= [a,b]. Det betyr aex og bey retning. Men hva er den EGENTELIGE enhetsvektoren for v ? Vi vet at v vektor har en lengde |v|=rota(a^2+b^2). Vel, for å finne den egentelige enhtesvektoren for v, kan vi finne ut hvor MYE av lengden per a og b inneholder. Ved å finne det, er vi kommet frem til den egentelige enhetsvektoren. La meg vise et eksempel:

u(vektor) = [6,-8]
Vi vil finne den egentelige enhetsvektoren. Da tar vi først og finner lengen:
rota(6^2+(-8)^2) = rota(36+64) = rota(100) = 10.
Nå må vi finne ut HVOR mange 10ere HVER av de enhetsvektorene (6ex og -8ey inneholder). Dette gjør vi ved å dele dem slik:

[6:10, -8:10], noe som gir definisjonen for den EGENTELIGE enhetsvektoren: 3/5 ex + (-4/5)ey.

Hvordan vi bruker dette gjenstår å finne i Geogebra

Takk for meg.

Okey, ved hjelp av litt Geogebra skills fant jeg frem til at ved å utføre opperasjonen i min forrige post, finner du lengden PER ENHETSVEKTOR! Matematikk er fantastisk.