matematikk.net

tror det er lett, men litt usikker på hvordan jeg skal angripe denne typen oppg:

Vis at [tex] n^5-n[/tex] er delelig med 5 for alle naturlige tall n.

[tex]n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2-1)(n^2+1) = n(n+1)(n-1)(n^2+1)[/tex]

Kan gjøres med induksjon, men.. La:

n=5k --> 5|n
n=5k+1 --> 5|n-1
n= 5k+2 --> 5|n^2+1
n= 5k+3 --> 5|n^2 +1
n= 5k+4 --> 5|n+1

Evt bruk fermats lille teorem, da følger det (trivielt).

MAT-INF 1100? Er ganske ny på induksjonsbevis, men tror jeg løste denne oppgaven tidligere i dag. Er det noen logiske brister eller feil er det flott med tilbakemelding!

Skal vise at [tex]n^5-n[/tex] er delelig på 5 for alle naturlige tall.

Vi sjekker med n=1 og n=2 og ser at dette stemmer.

Generelt har vi da at [tex]k^5-k[/tex] er delelig med fem. Vil da vise at dette gjelder for [tex]n=k+1[/tex]

[tex](k+1)^5-(k+1)[/tex]
Bruker binomialformelen for å gange ut parantesen som er opphøyd i 5:
[tex]k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-(k+1)[/tex]
[tex]k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1[/tex]

Vi ser her at -1 går mot +1, og vi kan skrive:
[tex](k^5-k)+5k^4+10k^3+10k^2+5k[/tex]
Her har jeg flyttet -k slik at det står som andre ledd. Dette leddet kjenner vi igjen fra da vi satte n=k, ([tex]k^5-k[/tex]), og vi vet jo at dette uttrykket er delelig med fem. Som du ser er også alle de andre leddene delelige med 5 og dermed vil jeg tro vi har vist at [tex]n^5-n[/tex] er delelige med alle naturlige tall n.

tusen takk går ikke MAT-INF 1100, har nettopp startet på MA1101, etter en hard fadderperiode. Du bruker kanskje Tom Lindstrøm ( Kalkulus) du og ?

Hehe, bruker Kalkulus jeg også ja, og jeg hadde løst nøyaktig den oppgaven tidligere på dagen, dog med et lite hint fra noen medstudenter

hehe, ja ganske åpenbart når man ser løsningen:P, jeg trenger nok litt mer trening på induksjon

Fant enda en jeg sliter litt med og:

[tex] \frac{(2n)!}{2^nn!} [/tex]

skal vise at utrykket er et naturligtall for alle n >= 0

[tex]h_n=\frac{(2n)!}{2^nn!}[/tex]
[tex]h_{n+1}=\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}h_n=(2n+1)h_n[/tex]

dischler wrote:[tex]h_n=\frac{(2n)!}{2^nn!}[/tex]
[tex]h_{n+1}=\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}h_n=(2n+1)h_n[/tex]

ser bra ut, men hva gjør du her? [tex]\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}h_n [/tex]