matematikk.net

Hei, jeg har en oppgave her jeg tror kan bli løst litt enklere, jeg brukte litt over 2 sider på denne oppgaven:

"Sirkelen S er gitt ved likningen

[tex]x^2+y^2=100[/tex]

S har to tangenter l og m som går gjennom punktet [tex]A(2,14)[/tex].
Tangentene berører S i punktene B og C. Finn koordinatene B og C."

Min framgangsmåte var å sette gi ytterpunktene på sirkelen en verdi P, hvor [tex]\vec{OP} = [10\cos{t},10\sin{t}][/tex]
Og sette at [tex]\vec{AP} \cdot \vec{OP} = 0[/tex]

Så gjorde jeg en laaang utregning og kom til slutt fram til svarene:
[tex]B(8,6) \ , \ C(-6,8)[/tex]

Jeg bare lurer på om dere har en annerledes og muligens enklere fremgangsmåte.

Dette husker jeg mrcreosote forklarte engang før jul. Lette og fant linken hans, hintet er nok:
ett punkts potens mhp. en sirkel (the power of a point with respect to a circle).

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#35597

Jeg har ikke eksplisitt sett på oppgava di, men prøv sjøl. Funker nok.

Jeg gjorde noe av det samme som deg Jarle, og brukte knapt en side. (Kanskje jeg skriver mye mindre enn deg:P )

Ut i fra likningen for sirkelen S kan vi lage en likning for den øvre halvdelen av sirkelen

[tex]y_s=sqrt{100-x^2}[/tex] (Den andre halvdelen får vi hvis vi setter [tex]-y_s[/tex])

Så kan vi jo sette opp en vektor for punktet B og PB (slik du gjorde), og utnytte at skalarproduktet av disse skal bli lik null.

[tex]\vec{OB}=[x,sqrt{100-x^2][/tex]

[tex]\vec{PB}=[x-2,sqrt{100-x^2}-14][/tex]

Når du finner x av likningen [tex]\vec{OB}\cdot\vec{PB}=0[/tex] vil du ende opp med andregradslikningen

[tex]200x^2-400x-9600=0[/tex] som har løsningene x=8 eller x=-6

Jeg vet ikke om det ble litt enklere jeg, eller kanskje det bare så litt mindre ut på mitt kladdeark... Hehe

Ah, jess, det er jo helt klart enklere. God ide. Det ble en del regning med sinus og cosinus (som kan være frustrerende til tider) men svaret ble nå rett.

(ok da, jeg innrømmer jeg skriver veldig stort )

Janhaa: Jeg forstår ikke nok av teksten til å bruke det...

Jarle10 wrote:Janhaa: Jeg forstår ikke nok av teksten til å bruke det...

Ok, da løser jeg oppgava kjapt vha ett punkts potens mhp en sirkel (og linken til mrcreosote). Går ikke i detalj, men henviser til hans forklaring.

Gitt sirkelen: x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 100 og punktet A=(2, 14)

Avstanden er: [symbol:rot](2[sup]2[/sup] + 14[sup]2[/sup]) = 10[symbol:rot]2

Fra A til det første skjæringspunktet er avstanden 10[symbol:rot]2 minus r=10, og fra A til det andre skjæringspunktet med sirkelen vil avstanden være 10[symbol:rot]2 pluss radius. Produktet av disse to avstandene er så A's potens mhp S er 100:

[tex](10\sqrt2 - 10)(10\sqrt2 + 10) = 100[/tex]

[tex]C=(x, y)=(x, \pm\sqrt{100-x^2})[/tex]
bruker da y > 0 og som gir:
[tex]AC=(x-2, \sqrt{100-x^2}-14)[/tex]
her ser vi likheten med Frank sitt bidrag.
Vel, vi vet da at |AC| = 10

[tex]|\vec {AC}|=\sqrt{(x-2)^2+(100-x^2)-28\sqrt{100-x^2}+14^2}\,=\,10[/tex]
...
[tex]50x^2-100x-2400=0[/tex]
som gir x=-6 eller x=8
Og vi har samme løsninger. Kanskje ikke enklere, men en artig metode dette!

Ikke at det hele var mye mer forståelig!

Hvorfor vet vi at |AC| = 10 ?

Fra potensen. Eller Pytagoras: Vi veit at tangenten til en sirkel står normalt på linja gjennom sentrum og tangeringspunktet. Du har nå en rettvinkla trekant hvor du kjenner to sider. Tegn opp, så ser du det.