matematikk.net

Har en likning som jeg forsåvidt finner riktig svar på, men fastit oppgir svaret mer nøyaktig enn meg, dvs. ved hjelp av rottegn, mens jeg kommer frem til et svar i desimaltall, hadde vært fint om noen kunne fortelle meg hva man må gjøre for å komme frem til svaret på samme måte som fasit.

Oppgaven er som følger:

[tex]e^x-e^{-x}=2[/tex]

Jeg løser ved å gjøre om likningen til [tex]e^x-\frac{1}{e^x}=2[/tex]

Og ved litt regning kommer jeg frem til [tex](e^x)^2-2e^x-1=0[/tex]

Løser som en annengradslikning og får det gyldige svaret [tex]e^x=2.414[/tex] som gir at [tex]x=\ln 2.414\approx0.881[/tex]

Fasit derimot oppgir svaret som [tex]x=\ln(1+\sqrt 2)[/tex]
Hvordan gjør man for å komme frem til dette (mer nøyaktige) svaret?

Ta en titt på utregningen din i andregradsløsningen:

i slutten vil du ha: [tex]\frac{(2) \pm sqrt{8}}{2}[/tex]

Med litt brøkregning vil du kunne forkorte dette til: [tex]sqrt{2}+1[/tex] og [tex]1-sqrt{2}[/tex]

Du ser at det som er negativt er ikke gyldig. Så det positive må være svaret til [tex]e^x[/tex]

Altså: [tex]e^x = sqrt{2} + 1 \Rightarrow x = ln{(sqrt{2}+1)}[/tex]

Vel. Jeg har ikke lært om dette enda, men ejg vil gå utifra at når du har ln 2.414 så har du i bakhodet enkelte konstanter, f.eks. at [symbol:rot] 2 [symbol:tilnaermet] 1,414. Dermed ahr du jo at ln 2,414 = ln (1+ [symbol:rot] 2)

Men jeg vet ikke, det finnes kanskje en metode.

Må også bare si at matte er så sinnsykt fantastisk. Er også dritstolt over at jeg gjorde det samme som deg her, og kom frem til det samme svaret, selv om det var en lett ligning. Heheh.

Synd at datamaskinene gjør alt for tiden. Jeg kan ikke komme på et bruksområde som gjør dette nyttig for et menneske å kunne lengre, i likhet med det meste annet i matematikken...

Realist1, jeg synes du skal ta og lære deg andregradsformelen, hvis du ikke har gjort det enda. Jeg vet ikke hva ungdomskoleelever lærer lengre, jeg lærte iallefall ikke den i 10.klasse.

Uansett, andregradsformelen (som er lett å lære) er noe av det du får mest bruk for på videregående. Ved hjelp av den kan man vise hvilke x-verdier som tilfredstiller likninger som ser slik ut: ax^2 + bx + c = 0 hvis a, b og c er konstanter.

Ah, selvfølgelig, var lat og brukte kalkulator (dårlig gammel vane)

Man får jo til og med svaret direkte uten brøkregning dersom man regner ut likningen [tex]u^2-2u-1=0[/tex] ved å gjøre om gjøre om venstresiden til et fullstendig kvadrat

Nå var det ikke andregradslikninger jeg tenkte på (Dette har vi ikke lært om enda, nei, men jeg kan det likevel =D), men det å få et desimaltall (bl.a. irrasjonalle tall) til å bli forklart ved hjelp av rottegn osv slik fasit gir her.

Men hva tenkte du på?

Vil nevne at jeg ikke så ditt svar før jeg postet min første post =D

I matematikken er det ikke slik at hvis man ser et tall som ligner mistenksomt på et rottutrykk - kan anta at det er det faktiske uttrykket. Altså: hvis vi har [tex]x \approx 1.41421356[/tex] kan vi IKKE si at [tex]x = sqrt{2}[/tex]

Hvis et desimaltall 100 tall bak i desimalserien til x hadde vært annerledes enn det i [tex]sqrt{2}[/tex] ? da hadde [tex]x \not = sqrt{2} [/tex]

Det er viktig å komme fram til slike ting på en matematisk måte, og ikke kun ved hjelp av intuisjon, som ofte er riktig, men liksågodt kan være feil.

Ja, hehe.. Sry

Kan også vise en annen metode, spesifikt for denne oppgaven. Dette er ikke pensum ved vgs, men for dem som skal fortsette med matte, er det greit å ha kjenskap til de hyperbolske trigonometriske funksjonene. Hva disse er og hva de kan brukes til er ikke vanskelig å undersøke på nettet.

Du vil finne at
[tex]\sinh (x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]
[tex]\rm{arsinh} (x) = \ln (x + \sqrt{x^2+1})[/tex]

Som du kan bruke på følgende måte:
[tex]e^x - e^{-x} = 2 \\ 2\sinh (x) = 2 \\ x = \rm{arsinh}(1) = \ln(1 + \sqrt{2})[/tex]

Dette var dog en liten digresjon.

Hva er bruksområdet til shinis og coshinus? Jeg har alltid lurt på det (eller siden jeg fikk kjennskap til dem)

Sender en link, riktignok på engelsk, hvor der står litt om div hyperbolske funksjoner, uttrykk og relasjoner.
Forresten, sinh(x) uttales sinus hyperbolikus og cosh(x) cosinus hyperbolikus.
Jeg vet iallfall at ledninger, (strøm-)kabler etc som er forbundet mellom 2 like høye stolper og henger (fritt) i parabellignende kurver, beskrives med cosh(x) funksjoner. Er Sikkert andre anvendelsesområder for disse funksjonene også.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic ... c_function

Takk for det.

Hvorfor blir det:
[tex]cosh 2x=cosh^2x+sinh^2x[/tex]
og ikke
[tex]cosh 2x=cosh^2x-sinh^2x[/tex]

Er det fordi vi har minus i enhetsformelen for hyperbolske funksjoner?

rm wrote:Hvorfor blir det:
[tex]cosh 2x=cosh^2x+sinh^2x[/tex]
og ikke
[tex]cosh 2x=cosh^2x-sinh^2x[/tex]
Er det fordi vi har minus i enhetsformelen for hyperbolske funksjoner?

Hmmm..har vel med å gjøre at:

[tex]\cosh^2(x)=\sinh^2(x)+1[/tex]

jepp, fant ut selv.