matematikk.net

[tex]\sqrt(100-x^2)\frac{x-1}{x}=1[/tex]

Ikke spør meg om noe, dette var sånn oppgaven kom, og jeg vet heller ikke hvor langt kvadratrottegnet gjelder

Kvadratrottegnet gjelder nøyaktig så langt som det her:

[tex]\sqrt{100 - x^2} \cdot \frac{x - 1}{x} = 1[/tex]

Hvorfor? Verdens matematikere har blitt enige om en håndfull regler for sånt.

Her er det bare å kvadrere.

[tex]\frac{(100 - x^2)(x^2 - 2x + 1)}{x^2} = 1[/tex]

Multiplisere med nevner.

[tex](100 - x^2)(x^2 - 2x + 1) = x^2[/tex]

Løse ut paranteser.

[tex]100x^2 - 200x + 100 - x^4 + 2x^3 - x^2 = x^2[/tex]

[tex]-x^4 + 2x^3 + 98x^2 - 200x + 100 = 0[/tex]

Eller, om vi vil snu på den:

[tex]x^4 - 2x^3 - 98x^2 + 200x - 100 = 0[/tex]

Hvordan du løser denne? Ikke spør. Alt du trenger å vite er at det er mulig - du vil få 4 løsninger (eller kanskje færre). Så må du sette prøve på svaret med disse løsningene for å finne ut hvilke som er falske og hvilke som er rette.

Realist1 wrote:[tex]\sqrt(100-x^2)\frac{x-1}{x}=1[/tex]

videregående pensum men kan legge ved forklaringer. når vi har en oppgave med rot tegn må vi la det stå alene på den ene siden av likhetstegnet.
[tex]\sqrt(100-x^2)=\frac{1}{\frac{x-1}{x}}[/tex]

vi får en brudden brøk. benytter meg av regelen som sier at brøk delt på brøk er den ene brøken ganger den andre brøken når den er snudd på hodet. (orker ikke bevise den)
[tex]\sqrt(100-x^2)=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{x-1}{x}}[/tex]

[tex]\sqrt(100-x^2)=\frac{1}{1}*\frac{x}{x-1}[/tex]

[tex]\sqrt(100-x^2)=\frac{x}{x-1}[/tex]

nå kvaderer vi begge sidene. altså setter de opp i annen for å få vekk rot-tegnet.'
[tex]\sqrt(100-x^2)^2=(\frac{x}{x-1})^2[/tex]

[tex]100-x^2=(\frac{x}{x-1})^2[/tex]

[tex]100-x^2=\frac{x^2}{(x-1)^2}[/tex]

[tex]100-x^2=\frac{x^2}{x^2-2x+1}[/tex]

[tex](100-x^2)(x^2-2x+1)=x^2[/tex]

og nå ser jeg dette blir en stygg oppgave som jeg akkurat nå ikke orker fullføre =)

Heeehheheh-

[tex]x^4 - 2x^3 - 98x^2 + 200x - 100 = 0[/tex]

Fristende å bruke newtons metode?

Jeg fant da:

[tex]x \approx -9,959 \ \ , \ \ x \approx 0,909 \ \ , \ \ x \approx 1,112 \ \ , \ \ x \approx 9,938 [/tex]

ettam wrote:[tex]x^4 - 2x^3 - 98x^2 + 200x - 100 = 0[/tex]

Fristende å bruke newtons metode?

Jeg fant da:

[tex]x \approx -9,959 \ \ , \ \ x \approx 0,909 \ \ , \ \ x \approx 1,112 \ \ , \ \ x \approx 9,938 [/tex]

Vil ikke si det frister, men hvis man ønsker å finne tilnærminger til røttene er nok newtons metoden veien å gå.

Magnus wrote:Vil ikke si det frister, men hvis man ønsker å finne tilnærminger til røttene er nok newtons metoden veien å gå.

Jeg ble fristet !

Eller:

[tex]\sqrt{100-x^2}\frac{x-1}{x}=1[/tex]

Kan omskrives med [tex]u^2 = 100-x^2[/tex]

Som gir

[tex]u \left(\frac{99-u^2}{100-u^2} \right) =1 \\ u^3-100u^2+100=0[/tex]

Som ved Cardano-substitusjonen [tex]u = t + \frac{100}{3}[/tex] gir
[tex]t^3 - \frac{10000}{3}t - \frac{1997300}{27} = 0[/tex]

Som, hvis man gidder å gjøre for hånd, kan løse for t med Cardanos metode, som man igjen kan substituere for u for å finne x.

Er man litt mer sofistikert, bruker man mathematica og finner at:

[tex]x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{101}}{2} - \sqrt{\frac{1}{2}(49-\sqrt{101})} \\ x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{101}}{2} + \sqrt{\frac{1}{2}(49-\sqrt{101})} \\ x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{101}}{2} - \sqrt{\frac{1}{2}(49-\sqrt{101})}[/tex]

Takk for svar ja