matematikk.net

Kan noen fortelle meg hvordan man går fram for å derivere en funksjon som har cos^2? To ligninger fra sist års eksamen som jeg sliter med:

[tex]y=sin^2(2x)+e^{2x}+e^{-2x}[/tex]

[tex]y=x^{sin x}[/tex]

Siden det er + mellom funksjonene, kan du derivere de hver for seg.
[tex]\rm sin^2(2x) = (sin(2x))^2[/tex]
Jeg synes det er enklere å se løsningen på den formen.
Her er det kjerneregelen to ganger. Kjerneregelen:[f(g)]' = f'(g) * g'
[tex]\rm 2(sin(2x))*cos(2x) = 2(sin(2x)*cos(2x)*2 = 4(sin(2x))(cos(2x))[/tex]

Du vet sikkert at e^x derivert blir seg selv. Det er fordi du bruker kjerneregelen på den også, og den deriverte av x blir 1. Det er tilsvarende når du har 2x:
[tex]\rm (e^{2x})^{,} = e^{2x}*2 = 2e^{2x}[/tex]
[tex]\rm (e^{-2x})^{,} = e^{-2x}*-2 = -2e^{-2x}[/tex]

Og svaret blir da:
[tex]\rm 4(sin(2x))(cos(2x)) + 2e^{2x} -2e^{-2x} [/tex]

avus wrote:Kan noen fortelle meg hvordan man går fram for å derivere en funksjon som har cos^2? To ligninger fra sist års eksamen som jeg sliter med:

[tex]y=sin^2(2x)+e^{2x}+e^{-2x}[/tex]

[tex]y=x^{sin x}[/tex]

Etter litt slit..
Ved hjelp av ln og e kan du derivere lett med kjerneregel og produktregelen:

[tex]y\,=\, x^{\sin x}\\ \ln y\,=\, \ln x^{\sin x}\\ \ln y\,=\, \sin x \cdot \ln x \\ \Downarrow[/tex]
[tex]e^{\ln y}\,=\, e^{\sin x \cdot \ln x}[/tex]
[tex]y\,=\, e^{\sin x \cdot \ln x}\\ \Downarrow[/tex]
[tex]y^{,}\,=\, \underline{\underline{(\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}) \cdot e^{\sin x \cdot \ln x}}}[/tex]

[tex]\large \int (\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}) \cdot e^{\sin x \cdot \ln x}\rm{d}x = x^{\sin x}+C[/tex]

Vis fremgangsmåte :S

Det er vel ikke så vanskelig...

[tex]I = \int \left (\cos (x) \cdot \ln (x) + \sin (x) \cdot \frac{1}{x}\right ) \cdot e^{\sin (x) \cdot \ln (x) } {\rm d}x[/tex]

Bruker delvis integrasjon.

[tex]u = \sin (x) \cdot \ln (x)[/tex]

[tex]u^\prime = \cos (x) \cdot \ln (x) + \sin (x) \cdot \frac{1}{x}[/tex]

[tex]I = \int u^\prime \cdot e^u {\rm d}x = \int e^u {\rm d}u[/tex]

[tex]I = e^u + C = e^{\sin (x) \cdot \ln (x)} + C = x^{\sin (x)} + C[/tex]

Vedr derivasjon av y = x[sup]sin(x)[/sup]
kan man også bruke logaritmisk derivasjon:

[tex]y=x^{\sin(x)}[/tex]

[tex]\ln(y)=\ln(x)^{\sin(x)}=\sin(x)\cdot\ln(x)[/tex]

deriverer begge sider:

[tex]{1\over y}\cdot y^,=\cos(x)\cdot \ln(x)\,+\,\sin(x)\cdot {1\over x}[/tex]

[tex]y^,=x^{\sin(x)}\cdot [\cos(x)\cdot \ln(x)\,+\,{\sin(x)\over x}][/tex]