matematikk.net

Nå har jeg sittet med siste del av denne oppgaven i timesvis, og hjernen min kan ikke tenke flere nye metoder nå... Jeg irriterer meg grenseløst over denne her:

I [tex]\tri{ABC}[/tex] setter vi [tex]\vec{AB} = \vec{a}[/tex] og [tex]\vec{AC}=\vec{b}[/tex]. Punktene [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex] er bestemt ved at [tex]\vec{BP} = \frac{3}{4} \vec{BC}[/tex] og [tex]\vec{AQ} = \frac{1}{4} \vec{AB}[/tex]. [tex]S[/tex] er skjæringspunktet mellom linjene [tex]AP[/tex] og [tex]CQ[/tex].

a) Finn [tex]\vec{AP}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex]

Jeg brukte at [tex]\vec{AB} + \vec{BP} = \vec{AP}[/tex]
Dermed: [tex]\vec{AP} = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{BC}[/tex]
[tex]\vec{BC} = \vec{b} - \vec{a}[/tex]
Altså: [tex]\vec{AP} = \vec{a} + \frac{3}{4} \cdot (\vec{b} - \vec{a})[/tex]

[tex]\vec{AP} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}[/tex]

b) Finn [tex]\vec{CQ}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex].

Jeg brukte at [tex]\vec{CA} + \vec{AQ} = \vec{CQ}[/tex]
Dermed: [tex]\vec{CQ} = -\vec{b} + \frac{1}{4} \vec{AB}[/tex]
[tex]\vec{AB} = \vec{a}[/tex]
Altså: [tex]\vec{CQ} = -\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{a}[/tex]

[tex]\vec{CQ} = \frac{1}{4} \vec{a} - \vec{b}[/tex]

c) Forklar at
[tex]\vec{AS} = x \cdot \vec{AP}[/tex] og
[tex]\vec{AS} = \vec{AC} + y \cdot \vec{CQ}[/tex]

Jeg forklarte med at [tex]\vec{AS}[/tex] er parallell med [tex]\vec{AP}[/tex] fordi punktet S ligger på [tex]\vec{AP}[/tex]. Derfor finnes det en konstant [tex]x[/tex] slik at [tex]\vec{AS} = x \cdot \vec{AP}[/tex].

Jeg forklarte med at siden punktet S ligger på [tex]\vec{CQ}[/tex] slik at det finnes en konstant [tex]y[/tex] slik at [tex]\vec{CS} = y \cdot \vec{CQ}[/tex]
Dermed blir: [tex]\vec{AC} + \vec{CS} = \vec{AS}[/tex]


Men så kommer oppgaven jeg ikke klarer å løse...

d) Bruk oppgave c til å finne [tex]\vec{AS}[/tex] uttrykt med [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex].

Mulig jeg overser en viktig ting her, men jeg klarer bare ikke finne fram til det riktige svaret. Takker for svar.

Vær så snill å svare, jeg har lagt fram hele oppgaven!

Bær over med min latskap i forhold til vektortegn.

Du har to uttrykk for AS:
[tex]AS = xAP = x(\frac14a+\frac34b) \\ AS = AC+yCQ = b+y(\frac14a-b) [/tex]

Disse må nødvendigvis være like:
x(a+3b)=4b+y(a-4b)
(x-y)a + (3x+4y-4)b = 0

Dette skal gjelde uavhengig av a og b, ergo:
x-y=0
3x+4y-4=0

Tusen, tusen takk!

Tror du at du kan forklare litt nærmere at det skal gjelde uavhengig for a og b?

Javisst!

Jeg forstår det som du er enig fram til
(I) (x-y)a + (3x+4y-4)b = 0 ?

Foreløpig har vi bare regna med en generell trekant og dermed generelle ikke-parallelle a og b. Dermed må disse ligningene gjelde uansett hvilke a og b vi har med å gjøre. Den eneste måten vi kan få det til på er at begge koeffisientene er 0. Det kreves kanskje litt tenking for å overbevise seg om dette, men når man først har gjort det en gang har man skaffa seg et nyttig verktøy; dette er et knep som stadig vekk dukker opp.

Vi kan vise det sånn:
Siden (I) gjelder for alle ikke-parallelle a og b, må det spesielt gjelde for a=(1,0) og b=(0,1).

Dette gir (x-y)(1,0)+(3x+4y-4)(0,1) = (0,0) og altså
(x-y)+0=0
0+(3x+4y-4)=0

Men hvis disse er oppfylt gjelder jo (I) uavhengig av hva a og b måtte finne på å være. (Det står 0a+0b=0; opplagt riktig.)

Merk at det nå bare er vist for 2 dimensjoner, men det er ingen sak å videreutvikle det litt: Se for eksempel først på (1,0,0) og (0,1,0) og så på (1,0,0) og (0,0,1) i 3 dimensjoner osv.

Jeg forstod det, men når du bruker koordinater som [0,1] det er vel en vektor med vertikale og horisontale enhetsvektorer. En villkårlig vektor a, og en villkårligvektor b trenger ikke nødvendigvis å være horisontale og vertikale i forhold til hverandre?

Men forstår det slik:

koeffisienten forant a er (x-y) og koeffisienten foran b er (3x+4y-4)

Begge koeffisientene må nødvendigvis være like, derfor kan man sette:

(x-y) = (3x+4y-4)

For så å komme fram til svaret hva x og y må være.

takk skal du ha

Nei, ikke helt. Bry deg ikke om at a og b tilfeldigvis står normalt på hverandre, det har ingenting med saken å gjøre.

(I) (x-y)a + (3x+4y-4)b = 0
gjelder generelt for alle vektorer a og b, og må dermed spesielt gjelde for, la oss si, a=(1,0) og b=(0,1). (Vi velger disse fordi de er relativt lette å regne med.)

Dette leder til
(x-y)+0=0
0+(3x+4y-4)=0
som før, så dette må også holde generelt. Men hvis dette holder, holder også (I) uavhengig av a og b, altså generelt.

Ja, jeg skjønner, takk for hjelpen.