matematikk.net

Hey, kan noen forklare meg hvordan man regner ut vektorproduktet?

La oss si at vi har 3 punkter A,B,C som ligger i samme plan. Jeg vil da finne normalvektor for planet.

jeg prøver å finne vektorproduktet ABxAC.

Hvordan gjør jeg dette?

Erikaa wrote:Hey, kan noen forklare meg hvordan man regner ut vektorproduktet?
La oss si at vi har 3 punkter A,B,C som ligger i samme plan. Jeg vil da finne normalvektor for planet.
jeg prøver å finne vektorproduktet ABxAC.
Hvordan gjør jeg dette?

Enklere hvis du har en konkret oppggave med koordinater. Men vektorproduktet kan f. eks. finnes vha av determinanten til 2x2 eller 3x3 matrisa.

-----------------------------------------------------------------------

Evt gitt [tex]\; \vec a=[a_x,\, a_y,\, a_z][/tex]
og[tex]\; \vec b=[b_x,\, b_y,\, b_z][/tex]

der vektorproduktet er

[tex]\vec a \, \text x \vec b \,=\,(a_yb_z\,-\,a_zb_y,\,a_zb_x\,-\,a_xb_z,\, a_xb_y\,-\,a_yb_x)[/tex]

Det enkleste er å utvikle en determinant slik som dette for å finne vektorproduktet:

[tex] \large\left| \begin{array}\\{\vec i}\ & {\vec j}\ & {\vec k}\\&\\ 4 \ & {\sqrt 3 }\ & 1\\&\\ 2\ & {3\sqrt 3 }\ & 3\end{array}\right| = [0,\ -10,\ 10\sqrt{3}] [/tex]
Du skriver i , j og k, så skriver du de to vektorene som du skal ta vektorproduktet av under hverandre, som du ser i eksempelet.

En 3 x 3 determinant utvikles ved å bryte ned determinanten i 2 x 2 determinanter. Dette gjøres ved å holde over den raden og den kolonnen til det elementet du utvikler. Jeg skal vise det ved det eksempelet jeg startet på:

[tex] \large\left| \begin{array}\\{\vec i}\ & {\vec j}\ & {\vec k}\\&\\ 4 \ & {\sqrt 3 }\ & 1\\&\\ 2\ & {3\sqrt 3 }\ & 3\end{array}\right| = {\vec i}\large\left| \begin{array}\\ {\sqrt 3 }\ & 1\\&\\ {3\sqrt 3 }\ & 3\end{array}\right| + (-{\vec j})\large\left| \begin{array}\\ 4 \ & 1\\&\\ 2\ & 3\end{array}\right| + {\vec k}\large\left| \begin{array}\\ 4 \ & {\sqrt 3 }\\&\\ 2\ & {3\sqrt 3 }\end{array}\right|[/tex]

Legg merke til minuset som er foran den midterste determinanten. Det er fordi vi utvikler etter et sjakkbrett mønster av plusser og minuser:

[tex] \large\left| \begin{array}\\{+}\ & {-}\ & {+}\\&\\ {-} \ & {+}\ & {-}\\&\\ {+}\ & {-}\ & {+}\end{array}\right| [/tex]

Du kan utvikle en determinant etter hvilken som helst rad eller kolonne bare du holder deg til den raden eller kolonnen du har valgt. Men her er det kanskje lettest å utvikle determinanten etter første raden som jeg har vist.

Her er da i, j og k enhetsvektorene i henholdsvis x, y og z retning.

En 2 x 2 determinant ganges ut på denne måten:

[tex] \large\left| \begin{array}\\{a}\ & {b}\\&\\ {c} \ & {d}\end{array}\right| = ad - bc [/tex]

ok takk