matematikk.net

Hei..
Snart eksamen, så jeg kunne trengt noe hjelp her:)

Skal bruke Stokes teorem til å beregne [tex]\iint_S (curlF)*n[/tex], der S er den delen av sylinderen x^2+z^2=1 , der 1<=y<=2, n peker ut fra sylinderen, og [tex]F=[x^2yz,\sqrt{y},2z][/tex]

Finner curlF=[tex][0,x^2y,-x^2z][/tex]

Men så skal jeg finne denne enhetsnormalen..er helt blank her. Kan noen forklare hvordan man finner den, og videre på opgaven?
På forhånd tusen takk;)

Hvis du skal bruke Stokes' teorem til å beregne dette flateintegralet, må det bety at du skal beregne linjeintegralet
[tex]\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}[/tex]
der [tex]C[/tex] er randkurven. I ditt tilfelle blir det litt mer komplisert mht randkurven, men konklusjonen er at man bare trenger å beregne linjeintegralet over de to randsirklene. Linjeintegralet langs selve sylinderen (en oppdeling man må lage seg for å komme "rundt" selve sylinderen) vil kansellere siden man går den samme veien to ganger, bare i motsatt retning. Det er kanskje lettere å tenke seg sylinderen skåret opp og brettet ut til et rektangel for å se dette!

Takk skal du ha for en god forklaring!
Men kan u forklare meg litt om denn enhetsnormalen?
Har litt problemer med å finne den her, og på andre oppg.

PÅ forhånd takk:)

En enhetsnormal vil i ditt tilfelle bli

[tex]\vec{n}=[x,0,z][/tex], der [tex]x^2+z^2=1[/tex]. Dette kan sees geometrisk!

Generelt vil en flate på formen [tex]f(x,y,z)=0[/tex] ha [tex]\nabla f[/tex]som normalvektor. Her finner vi [tex]\nabla(z^2+z^2-1)=[2x,0,2z][/tex]
som jo er parallell med [tex][x,0,z][/tex].

Hei.
Vektorfeltet [tex]F=[x^3z,y^3z,x^2+y^2][/tex]

Halvkulen er gitt ved: [tex]x^2+y^2+z^2<=1[/tex] og z>=0
Skal bestemme [tex]\iint_{bunn} F*n dS[/tex]
La S være overflaten til halvulen, der n er utadrettet enhetsnormal til S

Bunnen antar jeg er sirkelen x^2+y^2=1 i xy-planet. Her vil vel også z=0..altså:
[tex]\iint_{bunn} F*n dS= F(x,y,0)*n[/tex]
Tenker jeg riktig så langt??
Men så er det at hvis jeg bruker n=[0,0,1] så får jeg feil, men hvis jeg bruker n=[0,0,-1], så får jeg riktig, altså ikke k, men -k..
Hvorfor må jeg bruke -k, for å få riktig??

Du vil vel gjerne bruke normalvektoren UT av flaten. Ser greit ut.

Magnus wrote:Du vil vel gjerne bruke normalvektoren UT av flaten. Ser greit ut.

I stokes teorem vil du helst ha en n slik at når du legger høyre-tommelen langs n og griper så skal du gripe mot klokka, har ingen ting med ut/inn av flate som ved flux

Antar at Magnus mente "ut av legemet". Da blir retningen [tex]-\vec{k}[/tex]. Hvis du legger tommelen i negativ [tex]z[/tex]-retning, vil griperetningen være med klokka (sett ovenfra). Det er helt uproblematisk.

Tja, man må jo alltids ha en n som tilfredstiller at curlen blir mot klokka mhp n på S, hvis ikke må man jo snu curl F og krysse F med gradient operatoren

Dette har ingenting med curl F å gjøre. Det har med orientering av selve flaten å gjøre, uavhengig av vektorfeltet F.

Det jeg sier jo, dette gjelder ved stokes teorem. n må tilfredsstille høyrehåndskravet over s, hvis en da i stokes teorem bruker feil n kan man snu curl F og det vil da tilfredstille kravet over s

Javel, du vil altså endre fortegnet på på curl F i de tilfellene der randkurvens korrekte/oppgitte orientering mot urviseren (sett ovenfra), er det slik å forstå?
I såfall er jo dette lovlig. Men hva er vitsen?

Ja. Hva er problemet her egentlig? Er jo en enkel geometrisk betrakning som gir -k..