matematikk.net

Funksjonen [tex]T_n[/tex] er definert ved at

[tex]T_n(x) = \cos{nu}[/tex] der u er gitt ved [tex]\cos{u} = x \ , \ x \in [-1,1][/tex]

a) Finn [tex]T_1(x)[/tex]

b) Vis at [tex]T_2(x) = 2x^2 - 1[/tex]

c) Bruk resultatet i oppgave a til å vise at [tex]T_3(x) + T_1(x) = 2xT_2(x)[/tex] og finn [tex]T_3(x)[/tex]

d) Finn [tex]T_4(x)[/tex]

Hjelp med denne please?

zell wrote:Funksjonen [tex]T_n[/tex] er definert ved at
[tex]T_n(x) = \cos{nu}[/tex] der u er gitt ved [tex]\cos{u} = x \ , \ x \in [-1,1][/tex]
a) Finn [tex]T_1(x)[/tex]
b) Vis at [tex]T_2(x) = 2x^2 - 1[/tex]
c) Bruk resultatet i oppgave a til å vise at [tex]T_3(x) + T_1(x) = 2xT_2(x)[/tex] og finn [tex]T_3(x)[/tex]
d) Finn [tex]T_4(x)[/tex]
Hjelp med denne please?

a)[tex]T_1(x)=\cos(u)=x[/tex]

[tex]\sin(u)=\sqrt{1-\cos^2(u)}=\sqrt{1-x^2}[/tex]

b)
[tex]T_2(x)=\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)=x^2\,-\,(1-x^2)=2x^2\,-\,1[/tex]

c)
i)
[tex]\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)[/tex]

[tex]T_3(x)=\cos(3u)=\cos(2u)\cos(u)\,-\,\sin(2u)\sin(u)=(2x^2-1)x\,-\,2\sin^2(u)\cos(u)\,=\,2x^3\,-\,x\,-\,2(1-x^2)x\,=\,4x^3\,-\,3x[/tex]

ii)
[tex]T_3(x)\,=\,2xT_2(x)\,-\,T_1(x)\,=\,2x(2x^2-1)\,-\,x\,=\,4x^3\,-\,3x[/tex]

d)
[tex]T_4(x)\,=\,\cos(4u)\,=\,(\cos(2u))^2\,-\,(\sin(2u))^2\,=\,(2x^2-1)^2\,-\,4x^2(1-x^2)[/tex]

[tex]T_4(x)\,=\,8x^4\,-\,8x^2\,+\,1[/tex]

Tusen hjertelig takk Janhaa!