matematikk.net

Kan noen hjelpe meg ?

BA

Jada, det er ikke så ille:)

Hvis du har en trekant ABC , og du kjenner vinklen u mellom side b og c.

Hvis du lager en normal fra c ned på grunnlinja b får du to rettvinklede trekanter delt av høyden h.

Så kaller du den siden som går fra vinklen u til h for x.

da har vi at side a^2 = h^2 + (b-x)^2
og at h^2 = -x^2 + c^2.
Vi brukte pytagoras' setning for å finne dette.

så finner vi et uttrykk for x :

cos u= x/c
x=cos u * c

Rydder vi litt opp i likningen har vi a^2 = h^2 + b^2 -2bx +x^2

Så fyller vi inn uttrykket for h^2: (-x^2 +c^2) + b^2 -2bx +x^2

Fyller inn uttrykket for x:

a^2= b^2 +c^2 -2b(cos u*c)
a^2=b^2+c^2-2bc*cosu

Edit:

Lagde det litt mer oversiktlig, og med hjelpetegninger:



Edit :Skrivefeil

Jeg synes vektorer gjør seg bedre til dette.

Jeg viser til følgende diagram:



[tex]|\vec c|^2 = \vec c \cdot \vec c = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2(\vec a \cdot \vec b)[/tex]

Fra dette følger direkte:

[tex]c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C[/tex]

Den var ikke dum!

Vel Daofeishi. Det der innebærer at du vet hvordan man beviser prikkproduktet uten bruk av cosinussetningen da. Mest kjente beviset kjører jo hardt på cosinussetningen.

Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?

http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Jaja, selvfølgelig. Poenget er bare at i 2MX (hvertfall min bok) bevises prikkproduktet med bruk av cosinussetningen. Men, selvfølgelig. Ditt bevis er selvfølgelig helt konsistent.

daofeishi wrote:Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?

Problemet er at (i hvert fall i 2MX-boka vår) bruker beviset for (1) [tex]cos(u \pm v) = \cos(u)\cos(v) \mp \sin(u)\sin(v)[/tex] at man kjenner formelen for prikkprodukt. Og da er vi like langt...
Med mindre noen klarer å bevise (1) uten vektorer?

sEirik wrote:

daofeishi wrote:Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?

Problemet er at (i hvert fall i 2MX-boka vår) bruker beviset for (1) [tex]cos(u \pm v) = \cos(u)\cos(v) \mp \sin(u)\sin(v)[/tex] at man kjenner formelen for prikkprodukt. Og da er vi like langt...
Med mindre noen klarer å bevise (1) uten vektorer?

[tex]\cos(\alpha - \beta) = \Re(e^{i(\alpha - \beta)}) = \Re \left( (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta - i \sin \beta) \left) = \cos\alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta[/tex]

Og Eulers identitet kan vi igjen finne fra taylorekspansjonen... osv... osv...

Takk, har akkurat blitt ferdig med kapittelet om komplekse tall i Kalkulus

Holmkaran wrote:Kan noen hjelpe meg ?

BA

Tusen takk for raskt svar på ensøndag formiddag.

daofeishi wrote:Jeg synes vektorer gjør seg bedre til dette.

Jeg viser til følgende diagram:



[tex]|\vec c|^2 = \vec c \cdot \vec c = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2(\vec a \cdot \vec b)[/tex]

Fra dette følger direkte:

[tex]c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C[/tex]

Hvordan følger dette direkte? Kan du forklare?

Dette følger direkte fra skalarproduktet mellom to vektorer;

[tex]\vec A \cdot \vec B\,=\,|\vec {A}|\cdot |\vec {B}|\cdot \cos(\alpha)[/tex]

der[tex]\,\alpha \,[/tex]er vinkelen mellom vektorene.

[tex]\vec a \cdot \vec a\,=\,|\vec {a}|\cdot |\vec {a}|\cdot \cos(0)\,=\,|\vec {a}|^2[/tex]

[tex]2\vec a \cdot \vec b\,=\,2|\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos(\alpha)[/tex]

dette forutsetter at du har kjennskap til skalarproduktet.