Integral
Posted: 31/03-2007 20:25
En av de forsvunnene Integral, fra daofeishi:
[tex]I\,=\,\int {\sqrt{ \sqrt{x^4+1}-x^2}\over x^4+1}\,{\rm dx}[/tex]
[tex]I\,=\,\int {\sqrt{ \sqrt{x^4+1}-x^2}\over x^4+1}\,{\rm dx}[/tex]
x[sup]2[/sup] = sinh(t)
slik at:
2x dx = cosh(t) dt
[tex]{\rm dx}={1\over 2}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}[/tex]
videre er: x[sup]4[/sup] + 1 = sinh[sup]2[/sup](t) + 1 = cosh[sup]2[/sup](t)
[tex]I={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\cosh(t)-\sinh(t)}}{\cosh^2(t)}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\coth(t)-1}}{\cosh(t)}{\rm dt}[/tex]
ny substitusjon; u = coth(t) - 1, der
du = -csch[sup]2[/sup](t) dt = - (dt/sinh[sup]2[/sup](t))
bruker videre relasjonen:
[tex]\coth^2(t)=1+{\rm csch^2(t)}=(u+1)^2[/tex]
som ved omforming gir:
[tex]\sinh(t)=\frac{1}{\sqrt{u^2+2u}}[/tex]
[tex]I=-{1\over 2}\int\frac{\sqrt{u}}{u+1}\sinh(t){\rm du}=-{1\over 2}\int \frac{{\rm du}}{(u+1)\sqrt{u+2}}={1\over 2}[\lg(\sqrt{u+2}+1)\,-\,\lg(\sqrt{u+2}-1)][/tex]
[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth(t)+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth(t)+1}-1)][/tex]
x[sup]2[/sup] = sinh(t)
t = arcsinh(x[sup]2[/sup])
[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth({\rm arcsinh(x^2))}+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth{\rm (arcsinh(x^2))}+1}-1)]\,+\,C[/tex]
Kan helt sikkert forenkles dette uttrykket ! Dessuten kan nok dette søte integralet løses på flere måter...
EDIT: nå er hintet registrert og opplyst.
