Page 1 of 1
Et ellipsestykke
Posted: 17/03-2007 12:27
by Joche
En partikkel beveger seg langs en en ellipse med store halvakse (x-aksen) a=3 og lille halvakse (y-aksen) b=2
Posisjonen er gitt ved vektorfunksjonen
r(t)=[3 cos t,2 sin t] der t er tida
Banefarten er gitt ved v(t)=|v(t)|=|r'(t)|
1) Hvor på ellipsen er banefarten størst, og hvor er den minst?
Posted: 17/03-2007 12:50
by sEirik
[tex]r(t) = \[3\cos t \ ,\ 2\sin t\][/tex]
[tex]v(t) = r^\prime(t) = \[(3\cos t)^\prime \ ,\ (2\sin t)^\prime\] = \[-3\sin t \ ,\ 2\cos t\][/tex]
[tex]f(x) = |v(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (2\cos t)^2}[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4\cos^2 t}[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4(1 - \sin^2 t)}[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt{5\sin^2 t + 4}[/tex]
Banefarten størst i toppunktet til |v(t)|. Dette finner du ved å derivere f(x) og finne toppunkt/bunnpunkt slik du er vant med.
Posted: 17/03-2007 12:57
by Janhaa
Posted: 18/03-2007 16:52
by Joche
sEirik wrote:[tex]r(t) = \[3\cos t \ ,\ 2\sin t\][/tex]
[tex]v(t) = r^\prime(t) = \[(3\cos t)^\prime \ ,\ (2\sin t)^\prime\] = \[-3\sin t \ ,\ 2\cos t\][/tex]
[tex]f(x) = |v(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (2\cos t)^2}[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4\cos^2 t}[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4(1 - \sin^2 t)}[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt{5\sin^2 t + 4}[/tex]
Banefarten størst i toppunktet til |v(t)|. Dette finner du ved å derivere f(x) og finne toppunkt/bunnpunkt slik du er vant med.
Og hvordan deriverer man den? Må man innføre en "u"?
Posted: 18/03-2007 19:29
by arildno
forsåvidt.
Men det er egentlig unødvendig!
Alt som er nødvendig er å finne maksimum for radikanden (det som står innunder rot-tegnet), som åpenbart inntreffer når kvadratet av sinus er lik 1.
Posted: 19/03-2007 16:49
by Joche
arildno wrote:forsåvidt.
Men det er egentlig unødvendig!
Alt som er nødvendig er å finne maksimum for radikanden (det som står innunder rot-tegnet), som åpenbart inntreffer når kvadratet av sinus er lik 1.
Kremt, og hvordan ser man det? Og hvordan ser man minimum?
Posted: 19/03-2007 19:33
by Joche
Hvordan kunne jeg forresten løst denne oppgaven med en Texas TI-84 kalkulator?
Posted: 20/03-2007 11:47
by arildno
Man ser det gjennom:
1. Å vite at sinus varierer mellom minus 1 og 1
2. At dermed kvadratet av sinus ligger mellom 0 og 1
3. At 1 er større enn 0
4. At roten av et større tall er større enn roten av et mindre tall.
Tilsvarende må minimum intreffe når kvadratet av sinus er 0.