matematikk.net

Hvordan finner man sumformelen til kvadrattallene ?

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + .... (n-1)² + n² = ??????

Summen av denne rekken kan skrives [sigma][/sigma]n[sup]2[/sup] hvor n går fra 1 til uendelig. Du vil jo aldri finne summen av disse tallene så lenge n går mot uendelig, ettersom den da divergerer. Hvis du vi finne summen av fks de n første leddene i rekken kan du bruke følgende formel:
(n[sup]3[/sup]/3)+(n[sup]2[/sup]/2)+(n/6)

Utledningen av denne foregår ved matematisk induksjon og vises her
http://members.aol.com/scirealm/ForcedInduc.html

midd wrote:Hvordan finner man sumformelen til kvadrattallene ?

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + .... (n-1)² + n² = ??????

Hvis poenget er at du skal utlede formelen, kan det lønne seg å bruke induksjon. Da tar du for deg selve formelen (som sletvik nevnte), viser først at den er gyldig for n=1, noe som er greit. Så må du vise at hvis den er gyldig for n=k er den automatisk gyldig for n=k+1. Klarer du det, har du vist at den gjelder for alle n. Spør gjerne, men er usikker på hva du lurer på, så jeg gidder ikke ta alt her nå..

Utledninger foregår ikke ved hjelp av induksjon. Induksjon er et verktøy for å bevise at en allerede kjent formel er riktig.

For å utlede en formel for [sigma][/sigma]i[sup]2[/sup] fra i=1 til n skriver man opp n kopier av identiteten
(k+1)[sup]3[/sup]-k[sup]3[/sup]=3k[sup]2[/sup]+3k+1
i rekker under hverandre. Øverst kommer for k=1 og nederst for k=n. Så summerer man. Hvis man benytter andre formler for summer for de leddene som ikke inneholder 3k[sup]2[/sup] ender man opp med en ligning som kan løses for [sigma][/sigma]i[sup]2[/sup] fra i=1 til n.
Man får da den generelle formelen
(1/6)n(n+1)(2n+1).
Hvis det ikke er veldig viktig ønsker jeg ikke å foreta hele utledningen her da det er litt jobb og ganske krøklete på PC.

Oops, man utleder ikke ved hjelp av induksjon nei .

Jeg har lurt på hvordan man kan utlede den selv, og den måten du skisserte var artig. Skal se på den etterå