matematikk.net

Hei

oppgaven er å regne ut lengden av den parametriserte kurven

r(t) = ti + t^2j for t : [0,1]

Man skal vel integrere uttrykket, men de t'ene skaper problemer for meg..

mvh

La oss si du har en parametrisert kurve
[tex]\vec {r}(t) = \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)[/tex]

Da er kurvelengden mellom [tex] t = \alpha[/tex] og [tex]t = \beta[/tex] gitt ved:

[tex] \int _\alpha ^\beta \sqrt{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right) ^2 + \left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right) ^2} \ {\rm d} t[/tex]

I ditt tilfelle:

[tex] L = \int _0 ^1 \sqrt{\left( 1 \right) ^2 + \left( 2t \right) ^2} \ {\rm d}t [/tex]

Ble det noe klarere nå?

Jeg synes også den notasjonen var litt underlig, men det skal vel være
det samme som:

r(t) = [ t , t^2 ]

Når du kommer til integralet ovenfor, skal man integrere med substitusjon,
og da sette 2t som sinh u, så får du:

[tex]\int \sqrt{1+(sinh (u))^2}\cdot\frac{1}{2}cosh (u)\;du[/tex]

Det integralet skal vel være ganske likt et annet integral?

Bare et forslag, så slipper man substitusjonen 2t = sinh(u)
Hva med å bruke daofeishi's utgangspunk:

[tex]L\,=\,\int_0^1 sqrt{1+4t^2}\,dt\;[/tex]

og sett u = 2t der du = 2dt

[tex]L\,=\,{1\over 2}\int_0^2 sqrt{1+u^2}\,du[/tex]

[tex]L\,=\,{1\over 2}[{u\over 2}sqrt{1+u^2}\,+\,{1\over 2}ln(u+sqrt{1+u^2})]_0^2[/tex]

[tex]L\,=\,{1\over 2}sqrt5\,+\,{1\over 4}ln(2+sqrt5)[/tex]

Blir samme svar uansett