superbanan wrote:noen som kan hjelpe men volum beregning med integrasjon ?
en pyramide med en kvadratisk grunn flate med side lengde 230 meter , og høyde 146 meter. Vi deler så pyramiden i med et plan halveis ned fra toppen. Finn volumet av topp pyramiden ?
1)
En rask måte å regne ut volumet til pyramiden ved halve høyden (toppen), er å bruke:
[tex]V_{h\over 2}\,=\,{1\over 3}\cdot ({g\cdot h})\,=\,{[/tex][tex]{1\over 3} \cdot 115^2\cdot 73\;(m^3)\,\approx\,3,218\cdot 10^5\,(m^3)[/tex]
2)
Men der skulle utføres med integralreging;
Tenker oss at vi deler opp pyramiden fra topp til bunn ( skiver). Videre antas at skivene/kvadratene hver har en tykkelse dx.
Siden pyramiden har rette kanter vil bredden (på pyramiden) variere lineært. Og kan uttrykkes som ei rett linje gjennom origo:
Har punktene: (-230, 0) og (0, 146) som gir stigningstallet a:[tex]\;a\,=\,{146\over 230}[/tex]
dvs linja:[tex]\;y\,=\,{146\over 230}x\,=\,0,635x[/tex]
G(x) = 0,635x = y (*)
grensene må endres fra h=0 til x=0 og fra h=73 til x=115 ifølge (*)
Ok, volumet kan skrives som;
[tex]\;{V({ved\;h\;halve})}\,=\,{\int_0^{115} G(x)\,dx}\,=\,{0,635\int_0^{115} x^2\,dx}\,=\,[{146\over 230}\cdot {1\over 3}x^3]_0^{115}\,=\,({73\over 345})\cdot 115^3\,=\,({73\over 3})\cdot 115^2\,\approx\,3,218 \cdot 10^{5}\;(m^3)[/tex]
[tex]V(hele\;pyramide)\,=\,{G\cdot H\over 3}\,=\,{230^2\cdot 146 \over 3}\,(m^3)\,\approx\;2,574\cdot 10^6\,(m^3)[/tex]
Forresten observeres:
[tex]{V(hele)\over V(_{h/2})}\,=\,{2,574\cdot 10^6 \over 3,218 \cdot 10^5\,[/tex][tex]{=\,8}[/tex]