matematikk.net

skjønner ikke disse.man skal finne integralene. tror man må bruke variabelskifte på dem.

[symbol:integral] tanx/cosx^2 dx

[symbol:integral] cosxsinx^2 dx

[symbol:integral] x/ [symbol:rot] x^2-1 dx

[symbol:integral] (lnx)^2/x dx



skjønner går som privatist og er ikke alt vi får gått igjennom på kveldsskolen, og jeg er ikke en som tar matte som noe lett. derfor jeg spør om mye.

hei dette er variabelskifte ja
a)
[tex] \int \frac {tan(x)}{cos^2x} dx [/tex]

vi setter u= tanx altså du = [tex] \frac 1 {cos^2x} [/tex]

vi får da:

[tex] \int u du = \frac 12 u^2 [/tex]

setter inn for u:

[tex] \frac 12 tan^2x + C [/tex]

b)
[tex] \int \frac {cosx}{sin^2x} dx [/tex]

Vi setter u = Sinx og du blir da = cos x

Setter inn for u:

[tex] \int \frac 1 {u^2} du = \int u^{-2} du [/tex]


[tex] = -u^{-1} +C[/tex]

Setter inn for u:

[tex] - \frac 1 {sinx} + C [/tex]

c)

[tex] \int \frac x {\sqrt{x^2 -1}} dx [/tex]

Setter u = x^2 du = 2x

[tex] \frac 12 \int \frac 1 {\sqrt u} du [/tex]

[tex] =\frac 12 \int u^{-\frac 12 } du = \frac 12 \cdot 2u^{\frac 12} +C [/tex]


Vi setter inn for u :

[tex] \sqrt{x^2-1} +C [/tex]

d)

[tex] \int \frac {ln^2x}x dx [/tex]

vi setter u = lnx altså du = 1/x

[tex] \int u^2 du = \frac 13 u^3 +C [/tex]

Setter inn for u:

[tex] \frac 13 ln^3x +C [/tex]

finito

Edit
Ah, så ikke at du tok den. Men går litt mer i detalje, så lar den stå.

Du trenger ikke unnskylde for å stille mange spørsmål, Janne.
Det er tross alt sånn man lærer!

c)

[tex]\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx[/tex]

Integrasjon ved substitusjon (eller variabelskifte om du vil).

Setter
[tex]u = x^2-1[/tex]

deriverer og setter dx alene:
[tex]\frac{du}{dx} = 2x[/tex]

[tex]du = 2xdx[/tex]

[tex]dx = \frac{1}{2x}du[/tex]

Setter inn u og bytter dx med du og sitter igjen med:
[tex]\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx\;=\;\int\frac{x}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2x}du[/tex]

Stryker x'ene og setter konstanten utenfor:
[tex]\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{u} + C[/tex]

[tex]\sqrt{u} + C\;=\;\sqrt{x^2-1} + C[/tex]

keep'em comming please [tex] \int [/tex] er artig. ^^

Og en finn liten side for de som vil lære integrasjon ved substitusjon!
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

De går gjennom hvert skritt i mange forskjellige eksempler.

tusen takk.

Annen metode:

[tex]I = \int \frac{\tan x}{\cos^2 x} {\rm d}x = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos^2 x} {\rm d}x = \frac{\sin x}{\cos^3 x} {\rm d}x[/tex]

[tex]u = \cos x[/tex]

[tex]{\rm d}x = -\frac{1}{\sin x} {\rm d}{u}[/tex]

[tex]I = \int -\frac{1}{u^3} {\rm d}u = -u^{-3} {\rm d}u = \frac{1}{2}u^{-2} + C = \frac{1}{2\cos^2 x} + C[/tex]

Lær integrasjonsteknikker i flash:
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

takk

Tredje metode, delvis integrasjon, bare for moro skyld:

[tex] I = \int \frac{\tan(x)}{\cos^2(x)} = \int \tan(x)\sec^2(x) = \tan^2(x) - \int \tan(x)\sec^2(x) [/tex]

[tex]2I = \tan^2(x) \\ I = \frac{1}{2}\tan^2(x) + C[/tex]

Som er ekvivalent med Eiriks svar siden [tex]\frac{1}{2}\tan^2(x) = \frac{1}{2}\sec^2(x) - \frac{1}{2}[/tex]

på oppgave c) ville det ikke vært lettere å utnytte kjerneregelen her?

[tex]\int f^,(g(x)) g^,(x) \;dx = f(g(x))[/tex]

[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \;dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}2x \;dx = \sqrt{x^2 - 1} + C[/tex]