matematikk.net

Jeg har to oppgaver der jeg skal finne grenseverdiene. Den ene er:

lim ([rot][/rot]x - 1)/(x - 1)
x->1

Ved å sette inn tall som er nært opp til 1, så ser jeg at grenseverdien blir 1/2. Her vil jeg jo få grenseverdien 1, dersom jeg setter inn tallet 1 i stedet for x, og det blir feil. Er det noen måte å "enkelt" vise at grenseverdien blir 1/2, uten å sette opp tilnærmingsverditabeller?

Den andre funksjonen jeg skal finne grenseverdien på er:

lim (1 - tan x)^(1/x)
x->0

Her fungerer det heller ikke å sette inn 0 for x, for å finne grenseverdien. Jeg vet at svaret skal bli 1/e, men jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal komme fram til det. Jeg er klar over at definisjonen på e = (1 + t)^(1/t). Noen som har noen gode råd?

hint 1. oppgave: (x - 1) = ([rot][/rot]x - 1)([rot][/rot]x + 1)



hint 2. oppgave:
(1-tan(x))^(1/x) = e^ln[(1-tan(x))^(1/x)] = e^[ln(1-tan(x)) / x]

Hva er grenseverdien av ln(1-tan(x)) / x når x går mot 0?


Og bare en liten ting:

Linda G. Opheim wrote: Her fungerer det heller ikke å sette inn 0 for x, for å finne grenseverdien.

Dersom man har en kontinuerlig funksjon der man bare direkte kan sette inn et tall uten å manipulere med uttrykket eller bruke forskjellige teoremer som f.eks L'Hopitals så pleier man ikke bruke begrepet grenseverdi. Når tallet direkte kan settes inn så betyr det at funksjonen er definert for denne verdien og begrepet grenseverdi (=hvilken verdi funksjonen går mot når variabelen er vilkårlig nært en gitt verdi) blir nesten uten mening.

Tusen takk for hjelpen, det hjalp veldig

Fint at du spesifiserer begrepet grenseverdi. Jeg er klar over at funksjonene ikke er definert for grensverdiene, men likevel opererer boken min med begrepet grenseverdi der man kan sette tall rett inn for å finne grenseverdien. F.eks.

lim (x[sup]2[/sup] + 2)/x
x->2

Og løsningen i boka er (4+2)/2 = 3.

Derfor er jeg vant med at én måte å løse grenseverdier på, er å sette inn tallet og se hva jeg sitter igjen med.

greit. Boka di introduserer begrepet ved først å se på funksjoner som er kontinuerlige og bare sette inn. Det er en helt ok måte å begynne på, me lir som sagt uten mening hvis det ikke senere dukker opp eksempler der funksjonen ikke er definert for den verdien du setter inn.

F.eks se på funksjonen x/x

det virker sikkert merkelig å skrive en funksjon som x/x fordi dette kan forkortes til 1. Men her må man være forsiktig. For x=0 så er ikke denne forkortingen lov. Poenget mitt er: Selv om x/x ikke er definert for x=0 så er det naturlig å si at grenseverdien er 1 siden funksjonen er 1 for alle andre x. Slik at uansett hvor nær du er 0 (f.eks x=0,0001 eller 0,000000001 osv) så er verdien av x/x lik 1.

Jeg skjønner veldig godt hva du mener. Vet du om noen steder på nett der temaet grenseverdier behandles på en god måte? Gjerne med forskjellige metoder for å løse oppgaver på også. Kapitlet om dette temaet i boken min var ganske kort, og det hadde vært fint å kunne fått litt ekstra der.

Linda G. Opheim wrote:likevel opererer boken min med begrepet grenseverdi der man kan sette tall rett inn for å finne grenseverdien. F.eks.

lim (x[sup]2[/sup] + 2)/x
x->2

Og løsningen i boka er (4+2)/2 = 3.

Derfor er jeg vant med at én måte å løse grenseverdier på, er å sette inn tallet og se hva jeg sitter igjen med.

Løsningen i boka er helt riktig, men som dischler sier er dette de trivielle grenseverdioppgavene (som ikke egentlig gir noen forståelse av hva en grenseverdi er). Det første man prøver er som du sier å sette inn grensen i uttrykket og se om du får et tall. Dersom ikke dette går må du bruke enten l'Hopitals regel eller andre knep.

En ting du kan sjekke om du forstår:
Hvis du har en funksjon f(x) er grenseverdien til funksjonen i punktet x=a helt uavhengig av funksjonsverdien i a.

For å vise dette poenget med eksempler må man definere ganske sære funksjoner som ikke er kontinuerlige, f.eks. en rett linje med et "hull" i seg. Dette kan man fint gjøre:
La f(x) være lik x for alle x bortsett fra x=1, der er f(x)=2x (per definisjon). Grenseverdien for f når x->1 er 1, selv om funksjonsverdien er 2.

Den intuitive forståelsen av grenseverdien av f i x=1 er nemlig:
lim[sub]x->1[/sub] f(x) = "det tallet f ser ut til å gå mot når x nærmer seg 1" (og altså IKKE "verdien f har i x=1", så dette er grunnen til at dischler advdarte litt mot innsettingsmetoden du brukte over)
Mer presist er det det tallet f kan komme så nært vi vil, bare vi går nært nok x=1. Som vi ser "peker" f mot verdien 1 på veien mot x=1, og det som er avgjørende er at den "peker" mot 1 samme hvor mye vi forstørrer bildet av funksjonen rundt x=1.

Nå kan det kanskje være passende å minne om definisjonen av en kontinuerlig funksjon:
f(x) er kontinuerlig i punktet a dersom:
lim[sub]x->a[/sub] f(x) = f(a)
Altså: funksjonen er kontinuerlig i x=a dersom funksjonsverdien er lik grenseverdien. Som vi ser er funksjonen jeg brukte som eksempel ikke kontinuerlig i x=1.

Grenseverdier er egentlig ikke så vanskelig å finne, det er bare å følge oppskriften:
1. Prøv å sette inn grensen i uttrykket. (Pass på som i eksemplet med f som var lik x alle steder bortsett fra i ett punkt. Da er bare uttrykket for f i nærheten av grensen vi må sette inn i, ikke i det faktiske uttrykket for f i det aktuelle punktet)
2. Hvis du får 0/0 eller uendelig/uendelig: Bruk l'Hopitals regel.
3. Hvis du får uendelig minus uendelig: sett på felles brøkstrek. (f.eks. 1/x - 1/sin x når x går mot 0)

Tusen takk for veldig gode forklaringer. Jeg føler egentlig at jeg forstår selve begrepet grenseverdi godt nå. Og takk for "oppskriften". Men hva går egentlig l'Hopitals regel ut på?

Jeg spurte visst litt for raskt nå. Søkte på l'Hopitals regel, og fant en god forklaring på den. For andre interesserte, så finnes den på http://www.iu.hio.no/~marim/Datamatte/F ... regel.html

Linda G. Opheim wrote:Jeg skjønner veldig godt hva du mener. Vet du om noen steder på nett der temaet grenseverdier behandles på en god måte? Gjerne med forskjellige metoder for å løse oppgaver på også. Kapitlet om dette temaet i boken min var ganske kort, og det hadde vært fint å kunne fått litt ekstra der.

http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

Tusen takk! Den er lagt til i favoritter.