matematikk.net

Hei
Trenger hjelp til å komme i gang med denne oppgaven:

G er en abelskgruppe.
H er undermengde (subset) til G og består av identitetselementet e sammen med alle elementer i G av orden 2.
Vis at H er en undergruppe til G.

Fint hvis noen kan hjelpe meg med å "sortere" informasjonen og kanskje komme med et hint om hvor jeg skal starte.

Jeg har såvidt begynt å lære gruppeteori selv (har bare hatt et par timer om det foreløpig ), men jeg gjør et forsøk på å gi noen hint:

Det du må vise er at H oppfyller de 4 kravene til en gruppe.
(hvis H er en gruppe, er den også en undergruppe av G fordi den bare består av elementer fra G)

Informasjonen vi har er at:
1. G er abelsk -> elementene i G kommuterer (AB = BA)
2. H inneholder identitetselementet -> ok, dette er et av kravene til en gruppe
3. H inneholder alle elementer i G av orden 2 -> Alle elementene h i H er slik at h[sup]2[/sup] = e
(det siste punktet gir vel også mer informasjon, er usikker på om man har bruk for det i beviset)

Artig om du prøver å løse den her, så lærer jeg litt også
Skal hjelpe til så godt jeg kan hvis du står fast på noen av de 4 kravene...

Du må sjekke tre krav for å vise at H er en gruppe (og dermed undergruppe av G siden den bare inneholder elementer fra G)

1: assosiativitet. -> OK siden elementene kommer fra G som er en gruppe
2: inneholder identitetselement -> OK
3: inneholder invers til hvert element. -> OK siden alle elemntene er av orden 2. Da er hvert element sin egen invers.

Dessuten må H være lukket under den binære operasjonen i G.
Altså at dersom h1 og h2 er elementer i H så vil jeg vise at g=h1*h2 også er element i H ved å vise at g er av orden 2.

g=h1*h2 --> g*g=(h1*h2)*(h1*h2)=h2*(h1*h1)*h2 = h2*e*h2=e

g er altså av orden 2 og dermed per definisjon med i H. H er lukket under gruppeoperasjonen i G.