matematikk.net

Det blir nok litt feil.
1-tan^2(x) [symbol:ikke_lik] 1/cos^2(x)
1+tan^2(x) =1/cos^2(x)

Ja, så det nå. Jeg har regnet på (1/1+tan[sup]2[/sup] x), noe som blir litt annerledes. Boff.

daofeishi wrote:Inspirert av Cambridge-oppgaven - Finn:
[tex]I=\int \sqrt[3]{\tan(x)} \rm{d}x[/tex]

prøver meg på denne:

[tex]u=\sqrt[3]{\tan(x)}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,u^3=\tan(x)\,\,\, \,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=\arctan(u^3)[/tex]

[tex]{\rm dx}=\frac{3u^2}{1+u^6}\,{\rm du}[/tex]

som gir:

[tex]I=3\int \frac{u^3}{1+u^6}\,{\rm du}=3\int \frac{A}{u^2+1}{\rm du}\,+\,3\int \frac{B}{u^2+u\cdot \sqrt3+1}{\rm du}\,+\,3\int \frac{C}{u^2-u\cdot \sqrt3 +1}{\rm du}[/tex]

delbrøksoppspalting gir A=0,[tex]\,\,B=\frac{1}{\sqrt3 +1}\,\,og\,\,C=\frac{1}{\sqrt3 -1}[/tex]

altså:

[tex]I_1=\frac{3}{\sqrt3 + 1} \int\frac{{\rm du}}{u^2+u\cdot \sqrt3+1}=\frac{6}{\sqrt3 + 1}\arctan(2u + \sqrt3)+C_1[/tex]

[tex]I_1=\frac{6}{\sqrt3 + 1}\arctan(2 \cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} + \sqrt3)+C_1[/tex]


[tex]I_2=\frac{3}{\sqrt3 - 1} \int\frac{{\rm du}}{u^2-u\cdot \sqrt3+1}=\frac{6}{\sqrt3 - 1}\arctan(2\cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} - \sqrt3)+C_2[/tex]

-----------------------------------------------

[tex]I\,=\,\frac{6}{\sqrt3 + 1}\arctan(2 \cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} + \sqrt3)\,+ \, \frac{6}{\sqrt3 - 1}\arctan(2 \cdot \, \sqrt[3]{\tan(x)} - \sqrt3)+C [/tex]

Er delbrøksoppspaltingen rett her? Når jeg prøver å slå sammen de to brøkene, får jeg:
[tex]\frac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\frac{1}{{u^2 + u\sqrt 3 + 1}} +\frac{1}{{\sqrt 3 - 1}}\frac{1}{{u^2 - u\sqrt 3 + 1}}={\frac {\sqrt {3} \left( {u}^{2}+1+u \right) }{{u}^{4}-{u}^{2}+1}}[/tex].

TrulsBR wrote:Er delbrøksoppspaltingen rett her? Når jeg prøver å slå sammen de to brøkene, får jeg:
[tex]\frac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\frac{1}{{u^2 + u\sqrt 3 + 1}} +\frac{1}{{\sqrt 3 - 1}}\frac{1}{{u^2 - u\sqrt 3 + 1}}={\frac {\sqrt {3} \left( {u}^{2}+1+u \right) }{{u}^{4}-{u}^{2}+1}}[/tex].

Ser ut som du har rett. Ett eller anna har skjedd, orker rett og slett ikke
gå gjennom dette engang til...

Hvis du delbrøksoppspalter, og har annengradsuttrykk i nevneren, må du ha tellere på formen [tex]Ax+B[/tex].

Vdr. [tex]\,\,\,I=\int \sqrt[3]{\tan(x)}\,{\rm dx}[/tex]

substitusjon ga dette:

[tex]I=3\int \frac{u^3}{u^6+1}\,{\rm du}=\int \frac{3u^3}{(u^2+1)(u^2-sqrt{3}u+1)(u^2+\sqrt{3}u +1)}\,{\rm du}[/tex]

delbrøksoppspalting:

[tex]I=\,{1\over 2}\int \frac{u}{u^2-sqrt{3}u+1}\,{\rm du}\,+\,{1\over 2}\int \frac{u}{u^2+sqrt{3}u+1}\,{\rm du}\,-\,\int \frac{u}{u^2+1}\,{\rm du}[/tex]

jeg hopper over mye nå, og substituerer inn for [tex]\,\,\,u=\sqrt[3]{\tan(x)}\,\,\,[/tex]igjen.

[tex]I=-\sqrt{3\over 2}\arctan(\frac{\sqrt{3}-2\,\sqrt[3]{\tan(x)}}{2\sqrt{3}})\,-\,\sqrt{3\over 2}\arctan(\frac{2\,\sqrt[3]{\tan(x)}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}})\,+\,{1\over 4}\ln(-{1\over 4}(\sqrt{3}-2\,\sqrt[3]{\tan(x)})^2-{1\over 4})\,+\,{1\over 4}\ln((2\,\sqrt[3]{\tan(x)}+\sqrt{3})^2+1)\,-\,{1\over 2}\ln((\tan(x))^{2\over 3}+1)\,+\,C[/tex]

så kan noen derivere og sjekke med integranden da...

Vi kan jo også generalisere:
[tex]I_n=\int\sqrt[n]{\tan x} \rm{d}x[/tex],
og få:
[tex]I_n=n\int \frac{u^n}{1+u^{2n}}\rm{d}u[/tex].
Dette virker imidlertid ikke være løselig i form av elementære funksjoner, noen som kan bekrefte/avkrefte?

Edit: Endret variabelnavn.

TrulsBR wrote:Vi kan jo også generalisere:
[tex]I_n=\int\sqrt[n]{\tan x} \rm{d}x[/tex],
og få:
[tex]I_n=n\int \frac{x^n}{1+x^{2n}}\rm{d}x[/tex].
Dette virker imidlertid ikke være løselig i form av elementære funksjoner, noen som kan bekrefte/avkrefte?

Blir litt kluss med variablene der.

Du tenker på å finne integralet som en funksjon av n (og x)?; det blir nok vanskelig, ja. Men for hvert valg av en hel n vil integranden ha en "pen" antiderivert.

Burde vel ha valgt en annen variabel enn x i det andre integralet, ja.
Jeg ser at Wolfram gir et svar med en Hypergeometrisk funksjon, uten at det sier meg så mye.

Så dette integralet løst for en stund siden. Så ikke så lett ut, for å si det sånn.

[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}} \rm{d}x[/tex]

[tex]I=\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}}\rm{d}x[/tex]
[tex]I= \frac{x^2}{2\sqrt{x^3-1}}+\frac{1}{4} \int \frac{x^2}{(x^3-1)^{\frac{3}{2}}}\rm{d}x[/tex]

[tex]u=x^3-1[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=3x^2[/tex]

[tex]I_2=\int \frac{x^2}{(x^3-1)^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{x^2}{(u)^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3x^2} \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \rm{d}x[/tex]

[tex]I_2=\frac{1}{3}\int \frac{1}{(u)^{\frac{3}{2}}} \rm{d}u=-\frac{2}{3\sqrt{u}}+C=-\frac{2}{3\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]

[tex]I=\frac{x^2}{2\sqrt{x^3-1}}-\frac{1}{6\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]

[tex]I=\frac{3x^2-1}{6\sqrt{x^3-1}}+C[/tex]

Det skal være x^4 i nevneren i det andre integralet, og da faller den enkle substitusjonen i neste steg gjennom.

I løsningen jeg så for litt siden var det mange komplekse tall.

Ah ok, glem løsningen min. Glemte å derivere den ene faktoren ordentlig.