matematikk.net

Oppdaterte texen igjen.. Deler teller og nevner på $\cos v \cdot \cos u$ også skjer det magi..

Nebuchadnezzar wrote:Oppdaterte texen igjen.. Deler teller og nevner på $\cos v \cdot \cos u$ også skjer det magi..

Ja, for meg er det magi, for jeg skjønner fortsatt ikke.

Er ikke første gangen jeg bruker fasit for å si det sånn, men kanskje første gang jeg ikke forstår hva som blir gjort.

Jeg prøvde å dele på cos v * cos u (hvorfor forresten) slik neste steg viser, men fikk i hvert fall ikke det endelige svaret. Ikke engang i nærheten.

Svaret er fordi det funker, vi ønsker tangens, som per definisjon er sin/cos. Legger med enda flere mellomregninger, så får du si ifra hvilken linje du faller av på =)

$ \begin{align*}
\tan(u-v) = & \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)} \\
= & \frac{\sin u \cos v - \cos u \sin v}{\sin u \sin v + \cos u \cos v} \\
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cos v - \cos u \sin v}{\cos u \cos v} }{\ \cfrac{\cos u \cos v + \sin u \sin v}{\cos u \cos v} \:} \\
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cos v}{\cos u \cos v} - \cfrac{\cos u \sin v}{\cos u \cos v} }{\ \cfrac{\cos u \cos v}{\cos u \cos v} + \cfrac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v} \: }
= & \cfrac{\cfrac{\sin u \cancel{\cos v} }{\cos u \cancel{\cos v}} - \cfrac{ \cancel{\cos u} \sin v}{ \cancel{\cos u} \cos v} }{\ \cfrac{ \cancel{\cos u} \cancel{ \cos v}}{ \cancel{\cos u} \cancel{\cos v} } + \cfrac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v} \: } \\
= & \frac{ \cfrac{ \sin u }{ \cos u } - \cfrac{ \sin v }{ \cos v } }{1 + \cfrac{ \sin u }{ \cos u } \cdot \cfrac{ \sin v }{ \cos v } } \\
= & \frac{\tan u - \tan v }{1 + \tan u \cdot \tan v }
\end{align*} $

Alternativt kan du først dele teller og nevner på $\cos v$ også dele teller og nevner på $\cos u$, det er det samme men kanskje å holde styr på algebraen blir noe enklere?

Nebuchadnezzar wrote:Svaret er fordi det funker, vi ønsker tangens, som per definisjon er cos/sin.

Hva er det du skriver for noe?! ^^

Takker så mye, Nebuchadnezzar.

Jeg kom helt til siste steg alene i går, men glemte at definisjonen på tan = sin/cos, så jeg skjønte ikke hvordan brøken ble skrevet om i siste ledd. Men nå er jeg med, i hvert fall noen lunde.

Jeg tror ikke jeg hadde fått til å løse denne oppgaven på eksamen.

Anyway, etter 1 1/2 dag er jeg ferdig med dette eksamenshefte. Eksamen kommer sikkert til å gå strålende!