Primiske og hovedideal (og diverse algebra)

[wingeer]

Da skulle matrisene være fikset.

[Gustav]

Artin-Wedderburns teorem sier at hvis du har en artinsk semisimpel ring med enhet så vil den være isomorf med en direkte sum av matriseringer over divisjonsringer. Gjelder det da også at hvis vi har en semisimpel noethersk ring med enhet, så vil den også være isomorf med en slik direkte sum siden det er kjent at alle artinske ringer også er noetherske?

Edit: Det høres logisk ut for meg. Glem dette.

Si vi har en 2x2-matrisering R over en kropp F:
[tex]R=\begin{pmatrix}F & 0 \\F & F \end{pmatrix}[/tex] og et ideal: [tex]I=\begin{pmatrix}0 & 0 \\F & 0 \end{pmatrix}[/tex].
Vil da R/I være lik eller isomorf med [tex]\begin{pmatrix}F & 0 \\0 & F \end{pmatrix}[/tex]?
Og denne er vel isomorf med FxF. Er da dette en semisimpel ring? En skulle jo tro det fra definisjonen ettersom R/I kan skrives som en direkte sum av simple ringer (siden ethvert ideal av:
[tex]\begin{pmatrix}F & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}[/tex] er en 2x2-matrise A_n hvor A er et ideal av F, men F har ingen nontrivelle ideal). Og i tillegg er snittet av de to summandene 0. Så hadde jeg et spørsmål som rokket ved troen min, men i det jeg skrev det skjønte jeg at det ikke gjaldt alikevel. Uansett, er det semisimpelt? Trår litt forsiktig rundt semisimpelhet av matriser.
Siden den er semisimpel vil den vel også være noethersk (siden den kun har to ideal terminerer følgen over ideal temmelig kvikt).
Er det en fin lekker måte å sjekke om et ideal er minimalt på? Vet at en kan sjekke om et ideal I er maksimalt i en ring R ved å se om R/I er en kropp. Finnes det noe tilsvarende for minimale ideal? Eller må en rote rundt med mengder?

R/I består av elementer på formen
[tex]\begin{pmatrix}r_1 & 0 \\F & r_2 \end{pmatrix}[/tex]. Vi har vel da en ringisomorfi f:R/I->[tex]\begin{pmatrix}F & 0 \\0 & F \end{pmatrix}[/tex] gitt ved at f([tex]\begin{pmatrix}r_1 & 0 \\F & r_2 \end{pmatrix}[/tex])=[tex]\begin{pmatrix}r_1 & 0 \\0 & r_2 \end{pmatrix}[/tex].

La [tex]G=\begin{pmatrix}F & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}[/tex] og
[tex]H=\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & F \end{pmatrix}[/tex]. Da er [tex]G\cap H=0[/tex] og [tex]\begin{pmatrix}F & 0 \\0 & F \end{pmatrix}=G\oplus H[/tex].

G og H er da kropper (matriseaddisjon og matrisemultiplikasjon, med multiplikativ enheter [tex]\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}[/tex] og [tex]\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]) siden det vil eksistere multiplikative inverser for ethvert element ulik 0, og følgelig er R/I isomorf med en direktesum av simple ringer, og er følgelig semisimpel.

Det er iallfall slik jeg har tolket det..

[Karl_Erik]

Artin-Wedderburns teorem sier at hvis du har en artinsk semisimpel ring med enhet så vil den være isomorf med en direkte sum av matriseringer over divisjonsringer. Gjelder det da også at hvis vi har en semisimpel noethersk ring med enhet, så vil den også være isomorf med en slik direkte sum siden det er kjent at alle artinske ringer også er noetherske?

Det høres logisk ut for meg.

Mulig jeg surrer, men teoremet sier at artinsk, semisimpel med enhet -> isomorf med direkte sum. Det er sant at artinsk impliserer noethersk, men noethersk impliserer ikke artinsk, så det er ikke uten videre sant at en noethersk, semisimpel ring med enhet er isomorf med en slik direkte sum.

[Gustav]

Artin-Wedderburns teorem sier at hvis du har en artinsk semisimpel ring med enhet så vil den være isomorf med en direkte sum av matriseringer over divisjonsringer. Gjelder det da også at hvis vi har en semisimpel noethersk ring med enhet, så vil den også være isomorf med en slik direkte sum siden det er kjent at alle artinske ringer også er noetherske?

Det høres logisk ut for meg.

Mulig jeg surrer, men teoremet sier at artinsk, semisimpel med enhet -> isomorf med direkte sum. Det er sant at artinsk impliserer noethersk, men noethersk impliserer ikke artinsk, så det er ikke uten videre sant at en noethersk, semisimpel ring med enhet er isomorf med en slik direkte sum.

Hehe, nei. Jeg tenkte motsatt. Det stemmer jo selvsagt det du sier.

[wingeer]

Nå har jeg nettopp hatt eksamen i faget "Ringer og moduler". Det gikk så som så. Svarte på stort sett alt, og håper jeg unnlot å gjøre noen dumme feil. Tusen takk for all hjelp her inne, spesielt av natteravnen plutarco! Det har vært god hjelp å få i denne tråden.