Her er min del 2, uten bildene fra geogebra:
Oppgave 1)
a)
Vi setter a = antall mynter med verdi 1, b = antall mynter med verdi 5 og c = antall mynter med verdi 10.
Første likning blir: a+b+c=85 ettersom antall mynter totalt blir 85.
Andre likning blir: a+5b+10c=356 ettersom verdien av alle myntene totalt blir 356 skilling, og en mynt a er verdt 1 skilling, altså a, en mynt b er verdt 5 skilling, altså 5b, og en mynt c er verdt 10 skilling, altså 10c.
Tredje likning blir: 5a+8b+12c=633 ettersom vekten av alle myntene til sammen er 633g, og en mynt a veier 5g, en mynt b veier 8g, og en mynt c veier 12g.
b)
Vi skriver opp likningene i CAS og løser de mot hverandre, vi får:
Løsningen på likningssystemet er a=41,b=25 og c=19.
Det er 41 mynter med verdi 1 skilling, 25 mynter med verdi 5 skilling og 19 mynter med verdi 10 skilling i sjørøverskatten.
Oppgave 2)
a)
Skriver inn tabellen i regnearket i GeoGebra, og gjør en regresjonsanalyse på de tallene, vi får følgende logistisk funksjon, som vi så kan finne N, a og k ut fra:
N=200,a=3 og k=0,12
b)
N = 200 forteller oss at når t blir veldig stor, vil g(t) ≈ 200. Dette kan vi vise slik:
g(t)=200/(1+3*e^(-0,12t) )=200/(1+3*e^(-0,12*t→∾) )=200/(1+3*0)=200/1=200
Med andre ord så er grenseverdien N lik 200, det er «øvre grense» for antallet harer på øya. Etter en viss tid vil forskjellige faktorer på øya gjøre at antallet harer ikke stiger over 200 stk.
Oppgave 3)
a)
Tegner grafen q i graftegner:
b)
Grafen q(t) forteller oss hvor mange enheter som etterspørres per uke. Vi lager en linje for x=39 (ettersom t=0 er første uka den er ute for salg, er t=39 den 40. uka etter lansering), og finner skjæringspunkt:
I uke 40 etter lansering, er etterspørselen 412 enheter (antall enheter som etterspørres må være et heltall, og da runder vi ned siden 413 enheter ikke etterspørres). Da kan vi regne ut inntekten i uke 40 etter lansering: 412*50kr=20 600kr. Inntekten er på 20 600kr i uke 40 etter lansering.
c)
Vi regner ut etterspørselen samlet for alle 52 ukene etter lansering. Dette gjør vi med verktøyet VenstreSum(q, 0, 52, 52), ettersom vi kun er på utkikk etter én verdi for én uke (q(t) defineres som en modell for etterspørselen per uke, ikke per dag), og da tar vi den verdien som tilsvarer skjæringen for alle t-verdier fra 0 til 51 med grafen q. Vi lager 52 rektangler fra t=0 til t=52, slik at vi får én verdi for hver uke. Vi får:
b=17 980 forteller oss at det ble etterspurt 17 980 enheter samlet de første 52 ukene etter lansering, da kan vi regne ut inntekten samlet over de første 52 ukene etter lansering slik: 17 980*50kr=899 000kr. Den samlede inntekten de første 52 ukene etter lansering var 899 000kr.
d)
Det første vi gjør er å definere de to funksjonene p(x) og K’(x) i CAS:
Deretter vet vi at inntekten I(x) = prisen per enhet * antall enheter = p(x)*x. Det gir:
Nå kan vi regne ut I’(x) for å finne grenseinntekten, altså hvor mye inntekten øker ved salg av én ekstra enhet:
Nå kan vi bruke I’(x) og K’(x) til å regne ut vinningsoptimal produksjonsmengde, ettersom vi vil vite hva enhetsprisen må være for at overskuddet skal bli størst mulig: Det gjøres slik:
Vinningsoptimal produksjonsmengde er altså 875 enheter per uke. Nå kan vi regne ut p(875) for å finne ut hva enhetsprisen p(x) er når det etterspørres 875 enheter:
Enhetsprisen må være 51,25kr for at overskuddet skal bli størst mulig.
Oppgave 4
a)
Vi skal sette opp en geometrisk rekke for å bestemme terminbeløpet. Vi setter terminbeløpet lik x kroner, og k=1+3/100=1,03. Sluttverdien av det 20. og siste terminbeløpet er kun x, ettersom rentene ikke medregnes det siste året. Sluttverdien av det 19. terminbeløpet blir x*1,03, sluttsummen av det 18. terminbeløpet x*〖1,03〗^2 osv. Det første terminbeløpet har sluttverdien x*〖1,03〗^19. Vi får en geometrisk rekke på 20 ledd, der a(n)=x*〖1,03〗^(n-1). Summen av alle sluttverdiene S_20 skal være lik sluttverdien av lånebeløpet, som er 800 000*〖1,03〗^20. Vi bruker CAS, definerer a(n) og løser likningen S_20=800 000*〖1,03〗^20:
Terminbeløpet er på 53 772,5kr.
b)
Terminbeløpene danner en aritmetisk følge fordi hvert år så minker terminbeløpet med 1200kr. Det betyr at d = -1200. Vi får da a(n)=a_1+(n-1)d=64 000+(n-1)*-1200=64 000-1200n+1200=65 200-1200n. Summen av det n-te leddet i en aritmetisk rekke er gitt ved S_n=a_1*(k^n-1)/(k-1)→S_20=64 000*(-1200^20-1)/(-1200-1). Vi definerer a(n) i CAS og løser summen av de 20 terminbeløpene:
Summen av de 20 terminbeløpene for dette serielånet er 1 052 000kr.
(trengte egt ikke begynne å regne ut sumformelen fant jeg ut, var jo bare å definere a(n) også løse summen i CAS)
c)
Skippet c da jeg satt på den i 15 min uten å skjønne helt hva jeg burde gjøre, så gikk heller videre, fikk aldri tid til å gå tilbake til den heller
Oppgave 5
a)
Vi får en binomisk fordelt sannsynlighet. Enten så har en elev fravær i russetiden, eller så har h*n ikke det. For hver elev har vi en fast sannsynlighet for at han har fravær i russetiden, og alle «forsøkene» er uavhengig av hverandre. n=27 siden det trekkes ut 27 elever, og sannsynligheten er p=0,32. Vi putter disse verdiene i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, og regner ut sannsynligheten for at antall elever som har fravær i russetiden er 7 eller mindre, ettersom vi vil finne ut sannsynligheten for at minst 20 elever ikke har fravær. Vi får:
Sannsynligheten for at minst 20 av elevene ikke har fravær i russetiden er 32,7%.
b)
Nullhypotesen her er at antall elever som har fravær i russetiden, følger sannsynligheten p=0.32
Den alternative hypotesen er at antall elever som har fravær i russetiden blir mindre, altså at sannsynligheten faktisk er p < 0,32. Forventningsverdien her er 120 * 0,32 = 38,4 elever. Standardavviket er √(np(1-p) )=√(120*0,32(1-0,32) )=5,11. Ettersom både forventningen E(x) og Var(x) (standardavviket opphøyd i andre) er over 5, kan vi anta at X (antall elever som har fravær) er tilnærmet normalfordelt. Vi putter inn verdiene i normalfordelingskalkulatoren i GeoGebra og regner ut med P-verdien 0,05. Vi får at:
Det høyeste antallet elever som kan ha fravær før vi forkaster nullhypotesen er 29 elever.
Noen som ser noe som er de vet er feil svar?
Jeg tenkte at jeg ikke kunne forvente å gå i overskudd, siden forventningsverdien er mindre enn kostnaden.