matematikk.net

Vis at hvis \(3\mid \sigma(n^2+n+1)\) hvor \(n\) er et naturlig tall, så er det mulig å dele divisorene til \(n^2+n+1\) inn i \(3\) grupper hvor produktet av tallene i hver gruppe er lik.

Vi har av ordner at alle primtall $p>3$ slik at $p\mid n^3-1$ er kongruente med 1 modulo 3 eller deler $n-1$. Siden $\gcd(n-1, n^2+n+1)\mid 3$, er alle primtallsdivisorer av $n^2+n+1$ over 3 kongruent med 1 modulo 3. Videre har vi at $3\mid \sigma(n^2+n+1)$ impliserer at $n^2+n+1$ har en primtallsdivisor slik at $3\mid \frac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}$, der $\alpha = \nu_p(n^2+n+1)$ Siden $3\mid p-1$, så har vi av LTE at $3\mid \alpha + 1$. Det betyr at $3\mid \tau(n)$. Divisorene til $n^2+n+1$ danner dermed $\frac{\tau(n)}{2}$ ulike mengder på formen $\{d, \frac{n^2+n+1}{d}\}$. Siden $n^2+n+1$ ikke kan være et kvadrattall så er størrelsen på alle disse mengdene lik 2. Vi deler opp disse parene i 3 like store mengder. Produktene av elementene i parene i alle disse mengdene er lik $n^{\frac{\tau(n)}{6}}$.

La $m$ og $n$ være odde positive heltall. Et $m\times n$ brett er fylt med dominobrikker slik at nøyaktig én rute ikke er dekket. Denne ruten befinner seg i hjørnet øverst til venstre. Vi kan skli vertikale brikker vertikalt og horisontale horisontalt slik at de dekker den tomme ruten. Dette vil flytte rundt på hvor den tomme ruten er. Bevis at vi kan flytte den tomme ruten til alle hjørner av brettet.