matematikk.net

Nebuchadnezzar wrote:http://www.physicsforums.com/showpost.p ... tcount=272

Mesteparten av mine favoritter.

Du er i det forumet også, ser jeg (overalt?) ^^

Får se om jeg tar noen hvis jeg vil ha noe gøy å gjøre på...
I så fall: "How shall I get my answer checked?" WolframAlpha tar ikke alle de der (og ikke jeg heller)

Spør meg :p

Eller spør her.

Eller les latex dokumentet mitt når det en gang blir ferdig. Skjelletet er ferdig, og skal snart begynne på en del grunnleggende organ.

Nebuchadnezzar wrote: Slenger på to, tre luringer som kan bli løst ved substitusjon. Og det er vel noe alle har lært.

[tex]I_B \, = \, \int \frac{1}{\sqrt{x+x\sqrt{x}}} dx[/tex]

[tex]I_C \, = \, \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}+x} dx[/tex]

Her er en sammling integraler som jeg har postet før, nå er den atter en gang oppdatert. Og de lette integralene her, er ting alle klarer.

http://www.2shared.com/document/vvHpma_ ... _to_Z.html

Får prøve et her, da, så får vi se om jeg har glemt all integrasjonskunst i sommerferien, håper ikke det ...:

[tex]I_B \, = \, \int \frac{1}{\sqrt{x+x\sqrt{x}}} dx \\ \\ u=\sqrt {x} \\ gir du= (\frac 1{2 \sqrt {x}}) \ dx \\ \\ \text{Da blir:} \\ I_B \, = \, \int \frac{1}{\sqrt{x+x\sqrt{x}}} du \\ =2 \int \frac u{u^2+u^3} du \\ = 2\int \frac 1{u(1+u)} du \\ = 2\int (\frac 1{u} - \frac 1{1+u}) du\\ = 2( log(u)-log(1+u))+ C \\ = 2log(\sqrt{x}) -2log(1+\sqrt(x)) + C = log(x) -2log(1+\sqrt(x)) + C [/tex]

Er den grei ...

EDIT: latex dokumenter tar vel tid å få ferdig, ja. særlig hvis d skal utvides like fort som integralsamlingen ^^

[tex]I_B \, = \, \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1 + \sqrt{x}}}[/tex]

Tror du regnet litt feil, om du setter [tex]u=\sqrt{x}[/tex] her, får i det minste jeg ikke helt det samme som deg.

Alterntivt kan du herfra sette [tex]u=\sqrt{1+\sqrt{x}}[/tex]

Alternativ metode =)

Nebuchadnezzar wrote:[tex]I_B \, = \, \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1 + \sqrt{x}}}[/tex]

Og herfra kan vi sette [tex]u=\sqrt{1+\sqrt{x}}[/tex]

Alternativ metode =)

R nok alternativ metode til det jeg gjør,ja...

Hvis ikke det er flere måter å løse et integral på er det stor fare for at jeg ikke finner den eneste mulige. Hm, da finner jeg vel heller en umulig måte =].

Skrev at du regnet feil, ikke at det var feil metode. Jeg liker sjappe, røvere mens andre liker standardmaskineri, smaken er som baken.

Da prøver vi oss med et par luringer til

[tex]I \, = \, \int \frac{2x-9\sqrt{x}+9}{x - 3\sqrt{x}} dx [/tex]

[tex]\large I \, = \, \lim_{n \to \infty} \int_{1}^{0} \sum_{k=1}^{n} \left( \ln \left( \sqrt[k^2]{x} \right) \right) dx[/tex]

[tex]I \, = \, \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{e} e^x \cdot \sqrt[n]{x} + \frac{1}{e} \, dx [/tex]

[tex]I \, = \, \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt[a] {1 - \sqrt[a]{x}} \, dx[/tex]

Da klarte jeg endelig en av mine store nemesiser når det kommer til integral. Husker at jeg prøvde meg på denne tidligere i tråden, men uten hell.

Er derfor gledelig å komme tilbake, å takle denne røveren. Har alltid fryktet å løse dette integralet, så det har alltid ligget langt bak i hodet mitt. Som det store stygge beistet du aldri burde prøve deg på


[tex] I = \int {\frac{1}{{{x^4} + 1}}dx} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{\sqrt 2 - x}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}} + \frac{{\sqrt 2 + x}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int {\frac{{\sqrt 2 - x}}{{{{\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} + \frac{{\sqrt 2 + x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}dx} [/tex]


[tex] A = \int {\frac{{\sqrt 2 - x}}{{{{\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} dx\quad ,\quad u = x - \frac{1}{{\sqrt 2 }} [/tex]

[tex] A = \int {\frac{{\sqrt 2 - 2u}}{{1 + 2{u^2}}}du} = \int {\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + 2{u^2}}} - \frac{{2u}}{{1 + 2{u^2}}}du} [/tex]

[tex] A = \arctan \left( {u\sqrt 2 } \right) - \frac{1}{2}\ln \left| {1 + 2{u^2}} \right| [/tex]

[tex] A = \arctan \left( {\sqrt {2x} - 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right) [/tex]


[tex] B = \int {\frac{{\sqrt 2 + x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} dx\quad ,\quad p = x + \frac{1}{{\sqrt 2 }} [/tex]

[tex] B = \int {\frac{{\sqrt 2 + 2p}}{{1 + 2{p^2}}}} dx = \int {\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + 2{p^2}}} + } \frac{{2p}}{{1 + 2{p^2}}}dx[/tex]

[tex] B = \arctan \left( {p\sqrt 2 } \right) + \frac{1}{2}\ln \left| {1 + 2{p^2}} \right| [/tex]

[tex] B = \arctan \left( {\sqrt 2 x + 1} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right) [/tex]


[tex] I = B + A [/tex]

[tex] I = \arctan \left( {\sqrt 2 x + 1} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right) + \arctan \left( {\sqrt 2 x - 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right) [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} \right) - \arctan \left( {\frac{{\sqrt 2 x}}{{{x^2} - 1}}} \right) [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{{x^4} + 1}}dx} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} \right) - \arctan \left( {\frac{{\sqrt 2 x}}{{{x^2} - 1}}} \right)} \right] + \mathcal{C} [/tex]

Nice, gratulerer

Hvor sto du fast før?

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... c&start=30

Nei si det, er ikke godt å si

[tex]I = \int {\frac{1}{{{x^3} + 1}}dx} = \int {\frac{1}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{3}\frac{{2 - x}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{1}{3}\frac{1}{{x + 1}}dx} [/tex]

[tex]I = \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\int {\frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} - \frac{1}{2}\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{6}\ln \left| {{x^2} - x + 1} \right| + \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}dx} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - x + 1} \right| + \frac{1}{2}\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}2\left( u \right)} \right) + C [/tex]

[tex]I = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} \right| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right)} \right) + \mathcal{C} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{{x^3} + 1}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} \right| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right)} \right) + \mathcal{C} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{{x^3} \pm 1}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x \pm 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} \right| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {2x \mp 1} \right)} \right) + \mathcal{C} [/tex]

Prøver vi oss med et lite lett integral. Burde være greit for de fleste

La [tex]I(k) \, = \, \int_{a}^{b} x^{2k}+1 \, dx[/tex]

der [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]

a) La [tex]I_M[/tex] være den minste verdien [tex]I(k)[/tex] kan ha for valgte [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex].

b) Evaluer [tex]\lim_{k \to \infty}[/tex] I_M mot når

[tex]\large \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\,x - 4\,}\,dx[/tex]

Nebuchadnezzar wrote:[tex]\large \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\,x - 4\,}\,dx[/tex]

[tex]\large I=\int_{0}^{4} \frac{dx}{\,\sqrt x + 2\,}[/tex]

osv...

Nebuchadnezzar wrote:[tex]\large \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\,x - 4\,}\,dx[/tex]

Prøver meg på et kjapt forsøk denne gang, jeg... Aner at jeg ikke hørte hva du tenkte på forrige oppgave :p

[tex]\int_0^4 \frac {\sqrt{x}-2}{x-4} \ dx=\int_0^4 \frac {\sqrt{x}-2}{(\sqrt {x})^2-2^2} \ dx=\int_0^4 \frac {\cancel{\sqrt{x}-2}}{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x}+2)} \ dx=\int_0^4 \frac 1{\sqrt{x}+2} \ dx= \left[ln \left( \sqrt{x}+2\right) \right]_0^4=ln(\sqrt{4} +2)-ln(\sqrt{0}+2)=ln(4)-ln(2)=ln(\frac 42 )=ln 2 \approx 0,693...[/tex]

Fornøyd? (Har ikke sett over, altså. Dette er ikke eksamen. Du er ikke sensor...)

EDIT: Slengte på noen dx-er jeg hadde glømt. men har sikkert feil uansett...