matematikk.net

DennisChristensen wrote:

Markus wrote:Jeg tenkte det var underforstått at hvis $\lim_{x \to c} g(x)$ eksisterte (dvs. at venstre og høyre grenseverdi sammenfaller i punktet $c$, så var $\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$. Men dette trenger nødvendigvis ikke å være sant da kanskje?

Dette er på ingen måte underforstått, men er heller det sentrale i definisjonen av kontinuitet. Se på følgende funksjon:
$$f(x) = \begin{cases}0 & x\neq 0 \\ 1 & x=0.\end{cases}$$

Da eksisterer grenseverdien $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$, men $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 \neq 1 = f(0)$, så $f$ er ikke kontinuerlig for $x=0$.

Takk for oppklaringen! En slik definisjon bør vel egentlig strengt tatt sitte nå.. Beklager for feilinformeringen Aleks, men som nevnt i innlegget over funker argumentasjonen din!

Det som er neglisjert gjennom hele tråden er vel den første ulikheten i definisjonen av en grense $\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta >0 \quad s.a. \quad 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$, så funksjonsverdien i $x=c$ har ingen betydning for om implikasjonen gjelder. Dermed vil grenseverdien kunne eksistere slik Dennis gir eksempel på, selv om funksjonen ikke er kontinuerlig i punktet.

Hehe, jeg mente også det var underforstått i dette tilfellet at gitt $g(x) = k, \ k\in\mathbb R$, med underlagt bevis om at $\lim\limits_{x\to c}g(x) = k \ \forall c \in \mathbb R$, så er det gitt at $g(c) = k \ \forall c\in\mathbb R$. Burde dette også bevises først?

Aleks855 wrote:Hehe, jeg mente også det var underforstått i dette tilfellet at gitt $g(x) = k, \ k\in\mathbb R$, med underlagt bevis om at $\lim\limits_{x\to c}g(x) = k \ \forall c \in \mathbb R$, så er det gitt at $g(c) = k \ \forall c\in\mathbb R$. Burde dette også bevises først?

Hva eksakt skal du vise?

Haha, det kan være på tide med en oppsummering når du sier det.

Jeg har ført et bevis for produktregelen, men antakelsene jeg gjorde var at vi er gitt $f(x)$ og $g(x)$ som har eksisterende grenseverdier $x\to c \ \Rightarrow \ \left[f(x) \to L \ \wedge \ g(x) \to M \right]$. Men på ingen punkt nevnte jeg at funksjonene er definert i $x=c$. Jeg ser imidlertid ikke at dette er nødvendig, fordi grenseverdien for produktet behøver ikke være avhengig av at funksjonene er definert i $x=c$ (og dermed er kontinuerlig)?

Men samtidig så må jeg navigere litt rundt begrepet "kontinuerlig", fordi emnet grenseverdier kommer før "kontinuitet" nevnes.

Målet videre er å bevise regelen: La $f(x) \ : \ \lim\limits_{x\to c}f(x) = L$ være en eksisterende grense. Da vil $\lim\limits_{x\to c}k\cdot f(x) = k \lim\limits_{x\to c}f(x)$ der $k \in \mathbb R$.

Planen var å bruke produktregelen, med spesialtilfellet $g(x) = k$ for å illustrere bevisføring der problemet reduseres til to allerede beviste resultater: Produktregelen, samt $\lim\limits_{x\to c}k = k$.

Deretter tok diskusjonen en vending, og jeg fikk en følelse av at jeg kanskje hadde gått på en smell ved å mentalt "anta" (uten å egentlig nevne eller bruke) at funksjonene er definert i $x=c$.

Slik jeg forstår det etter ny gjennomlesing av innleggene så var det ikke noe som kjeppa hjulene likevel, men kan være fint å få dette bekreftet før jeg fortsetter. Epsilon/delta er notorisk for å ikke være det letteste konseptet, og det er mange fallgruver av å ikke være påpasselig med språket.

Det gjør også at jeg selvfølgelig setter ekstra stor pris på all deltakelsen i denne tråden!

Aleks855 wrote: Jeg har ført et bevis for produktregelen, men antakelsene jeg gjorde var at vi er gitt $f(x)$ og $g(x)$ som har eksisterende grenseverdier $x\to c \ \Rightarrow \ \left[f(x) \to L \ \wedge \ g(x) \to M \right]$. Men på ingen punkt nevnte jeg at funksjonene er definert i $x=c$. Jeg ser imidlertid ikke at dette er nødvendig, fordi grenseverdien for produktet behøver ikke være avhengig av at funksjonene er definert i $x=c$ (og dermed er kontinuerlig)?

Det er riktig at man ikke trenger funksjonsverdiene i $x=c$ her ja. I tillegg behøver man ikke å introdusere kontinuitet i det hele tatt på dette tidspunktet.

Målet videre er å bevise regelen: La $f(x) \ : \ \lim\limits_{x\to c}f(x) = L$ være en eksisterende grense. Da vil $\lim\limits_{x\to c}k\cdot f(x) = k \lim\limits_{x\to c}f(x)$ der $k \in \mathbb R$.

Planen var å bruke produktregelen, med spesialtilfellet $g(x) = k$ for å illustrere bevisføring der problemet reduseres til to allerede beviste resultater: Produktregelen, samt $\lim\limits_{x\to c}k = k$.

Ok, så det virker som det eneste som gjenstår er å vise formelt at dersom $f(x)=k$, så er $\lim_{x\to c}f(x)=k$. Det eneste man behøver å observere her er at $|f(x)-k|=|k-k|=0<\epsilon$ for alle $\epsilon>0$, så da er valget av $\delta$ vilkårlig, og $\lim_{x\to c}f(x)$ eksisterer og er lik $k$ fra $\epsilon-\delta-$definisjonen.

Jepp, regelen for konstante funksjoner er bevist. Så da virker det som neste steg blir å lage $k\cdot f(x)$-videoen.

Takk for input!