matematikk.net

zaz wrote:

Madde-2 wrote:Kunne noen hjulpet meg med denne: jeg får den ikke til..

Vi lar x = (x1,...,xn) betegne en vektor i Rn. Et vektorfelt F : Rn → Rn kalles sentralt hvis det kan skrives på formen F(x) = f (|x|)x, der f er en funksjon fra [0, ∞) → R.
a) Vis at sentrale vektorfelter konservative i Rn hvis f er kontinuerlig deriverbar og limr→0 f′(r) = 0.
b) La h(r) være en funksjon slik at h′(r) = rf(r). Vis at φ(x) = h(|x|) er en potensialfunksjon til F.

Hele obligen er ren katastrofe! Jeg synes ikke vi har fått nok info på forelesningen og ikke står det noe om i pensumet. Trenger hjelp med denne jeg også!

Både T. S. Blyth & E. F. Robertson, Basic Linear Algebra (Springer, London, 1998) og
R. Kaye and R. Wilson, Linear Algebra (OUP, 1998) er gode kilder til en abstrakt/teoretisk tilnærming til faget.

En mer praktisk tilnærming gis i Gilbert Strangs forelesninger: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics ... fall-2011/
Han har også skrevet en bok om elementær lineær algebra: http://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/
Jeg har ikke lest denne boken, men vil anta den følger kurset hans godt. Jeg fant i alle fall forelesningene hans givende da jeg skulle gjennom dette stoffet!

DennisChristensen wrote:

gjest123 wrote:Noen som kan hjelpe til med oppgave b?

b) Finn X og Y som funksjon av førstekomponten til berøringspunktet s(x)

Merk at punktet hvor disken møter kurven (berøringspunktet) er gitt ved $\left(x,x^2\right)$. Videre er vektoren fra dette punktet til sentrum $\left(X,Y\right)$ gitt ved $-\rho\vec{n}$, hvor $\vec{n}$ er enhetsnormalen vi fant i oppgave (a). Se vedlagte bilde:

matematikk.net-oppgave.jpg

Dermed har vi at $$(X,Y) = s(x) - \rho\vec{n} = (x,x^2) - \rho\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1) = \left(x - \frac{2\rho x}{\sqrt{4x^2 + 1}}, x^2 + \frac{\rho}{\sqrt{4x^2+1}}\right).$$

Tusen takk for fantastiske svar!!

Videre ønsker oppgaven at vi skal Forklare hvorfor σ(x) er buelengden på kurvens(t)=(t,t2)fort∈[0,x].

hvor q ligger her under oppgave 2c da den ikke ville kopieres inn http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... oblig1.pdf

DennisChristensen wrote:

zaz wrote:

Madde-2 wrote:Kunne noen hjulpet meg med denne: jeg får den ikke til..

Vi lar x = (x1,...,xn) betegne en vektor i Rn. Et vektorfelt F : Rn → Rn kalles sentralt hvis det kan skrives på formen F(x) = f (|x|)x, der f er en funksjon fra [0, ∞) → R.
a) Vis at sentrale vektorfelter konservative i Rn hvis f er kontinuerlig deriverbar og limr→0 f′(r) = 0.
b) La h(r) være en funksjon slik at h′(r) = rf(r). Vis at φ(x) = h(|x|) er en potensialfunksjon til F.

Hele obligen er ren katastrofe! Jeg synes ikke vi har fått nok info på forelesningen og ikke står det noe om i pensumet. Trenger hjelp med denne jeg også!

Både T. S. Blyth & E. F. Robertson, Basic Linear Algebra (Springer, London, 1998) og
R. Kaye and R. Wilson, Linear Algebra (OUP, 1998) er gode kilder til en abstrakt/teoretisk tilnærming til faget.

En mer praktisk tilnærming gis i Gilbert Strangs forelesninger: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics ... fall-2011/
Han har også skrevet en bok om elementær lineær algebra: http://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/
Jeg har ikke lest denne boken, men vil anta den følger kurset hans godt. Jeg fant i alle fall forelesningene hans givende da jeg skulle gjennom dette stoffet!

Fantastisk, tusen takk for tips! Gilbert Strangs forelesninger skal så definitivt sjekkes ut!

Gjest wrote:

DennisChristensen wrote:

gjest123 wrote:Noen som kan hjelpe til med oppgave b?

b) Finn X og Y som funksjon av førstekomponten til berøringspunktet s(x)

Merk at punktet hvor disken møter kurven (berøringspunktet) er gitt ved $\left(x,x^2\right)$. Videre er vektoren fra dette punktet til sentrum $\left(X,Y\right)$ gitt ved $-\rho\vec{n}$, hvor $\vec{n}$ er enhetsnormalen vi fant i oppgave (a). Se vedlagte bilde:

matematikk.net-oppgave.jpg

Dermed har vi at $$(X,Y) = s(x) - \rho\vec{n} = (x,x^2) - \rho\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1}}(2x,-1) = \left(x - \frac{2\rho x}{\sqrt{4x^2 + 1}}, x^2 + \frac{\rho}{\sqrt{4x^2+1}}\right).$$

Tusen takk for fantastiske svar!!

Videre ønsker oppgaven at vi skal Forklare hvorfor σ(x) er buelengden på kurvens(t)=(t,t2)fort∈[0,x].

hvor q ligger her under oppgave 2c da den ikke ville kopieres inn http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... oblig1.pdf

Buelengden $L_{\mathbf{s}(t)}(x)$ av kurven $\mathbf{s}(t) = (t,t^2)$ for $t \in [0,x]$ er gitt ved
$$ L_{\mathbf{s}(t)}(x) = \int_0^x |\frac{d}{d \xi}\mathbf{s}(\xi)| d\xi = \int_0^x | \frac{d}{d\xi}(\xi,\xi^2)| d\xi = \int_0^x |(1,2\xi)|d \xi = \int_0^x \sqrt{1 + 4\xi^2}d \xi = \sigma(x).$$