Terminprøve Matte X (3-timersprøve)

[Janhaa]

[tex]P(x\geq 10) = 1 - P(x<10)[/tex]

Så langt kom jeg også, men jeg kom egentlig ikke på noen bra måte å gjøre dette på likevel, bortsett fra i så fall å regne ut sannsynligheten separat for både X= 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9. Er det en lettere måte å gjøre det på?

HUSK, den er normalfordelt nå...

[tex]P(x\geq 10) = 1 - P(x<10)=1 - \Phi(\frac{10-9}{2.51})=1 - \Phi(0,40)=0,345[/tex]

er ikke dette lett?

[Realist1]

[tex]P(x\geq 10) = 1 - P(x<10)[/tex]

Så langt kom jeg også, men jeg kom egentlig ikke på noen bra måte å gjøre dette på likevel, bortsett fra i så fall å regne ut sannsynligheten separat for både X= 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9. Er det en lettere måte å gjøre det på?

HUSK, den er normalfordelt nå...

[tex]P(x\geq 10) = 1 - P(x<10)=1 - \Phi(\frac{10-9}{2.51})=1 - \Phi(0,40)=0,345[/tex]

er ikke dette lett?

Hehe, jo, når du legger det frem slik, så.
Fikk samme svar da, men det var ved hjelp av kalkulatorens normalfordelingsfunksjon.

[Realist1]

Skal legge ut min løsning på de oppgavene jeg gidder her nå. Fint om noen orker å gi noe feedback.

Oppgave 1

a) Avgjør hvilke av tallene 31, 572, 32465 og 573 som er primtall.

31 er et primtall
572 er delelig med 2 => ikke et primtall
32465 er delelig med 5 => ikke et primtall
573 er delelig med 3 => ikke et primtall

31 er det eneste primtallet

b) Bestem primtallsfaktoriseringen av 84 og 90.

[tex]84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \\ 90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5[/tex]

c) Bestem sfd(84, 90) og mfm(84, 90).

[tex]sfd(84, 90) = 2 \cdot 3 = 6[/tex]
[tex]mfm(84, 90) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 1260[/tex]

d) Vis at sfd(168, 104) = 8, ved å bruke Euklids algoritme. Bestem så mfm(168, 104).

[tex]168-1\cdot 104 = 64 \\ 104-1\cdot 64 = 40 \\ 64 - 1\cdot 40 = 24 \\ 40-1\cdot 24 = 16 \\ 24 - 1\cdot 16 = 8 = sfd(168, 104) \\ \cancel{16-2\cdot 8 = 0}[/tex]
[tex]mfm(168, 104) = \frac{168 \cdot 104}{sfd(168, 104)} = \frac{17472}{8} = 2184[/tex]

e) Løs den diofantiske likningen 8x+75y=1200 ved regning.

[tex]sfd(8, 75) = 1 \Rightarrow 1200 || 1 \Rightarrow [/tex]Ligningen går opp

[tex]75 - 9\cdot 8 = 3 \\ 8 - 2\cdot 3 = 2 \\ 3-1\cdot2 = 1 = sfd \\ 2-2\cdot 1 = 0[/tex]
---------------------
[tex]3 - 1\cdot \left( 8-2\cdot 3 \right) = 1 \\ 3 \cdot 3 - 1\cdot 8 = 1 \\ 3 \cdot \left( 75 - 9\cdot 8\right) - 1\cdot 8 = 1 \\ 3\cdot 75 - 28 \cdot 8 = 1 \ \ \ \ |\cdot 1200 \\ 3600\cdot 75 - 33600\cdot 8 = 1200[/tex]
Dermed har vi at x=-33600 og y=3600 er én løsning av denne likningen. Den generelle løsningen er da gitt ved:
[tex]x = -33600 - \frac{75}{1} \cdot n = -33600-75n \\ y = 3600 + \frac81 \cdot n = 3600 + 8n[/tex]

Oppgave 2
Line har tatt seg en ekstra jobb, og selger noen dager en spesiell forsikring over telefon. La [tex]X[/tex] være tallet på slike forsikringer som hun klarer å selge i løpet av en dag. Sannsynlighetsfordelingen til [tex]X[/tex] er da:

Code: Select all

   x  | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    | 6 
P(X=x)| 0,03 | 0,10 | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,10 | 0,02

a) Finn forventningsverdien og standardavviket til [tex]X[/tex].

[tex]\mu = E(X) = 0 \cdot 0,03 + 1\cdot 0,10 + 2\cdot 0,20 + 3\cdot 0,25 + 4\cdot 0,30 + 5\cdot 0,10 + 6\cdot 0,02 \\ = 0 + 0,10 + 0,40 + 0,75 + 1,20 + 0,50 + 0,12 = \underline{\underline{3,07}}[/tex]
[tex]\sigma = \sqrt{Var(X)} \\ = \sqrt{(0-3,07)^2 \cdot 0,03 +(1-3,07)^2 \cdot 0,10 +(2-3,07)^2 \cdot 0,20 +(3-3,07)^2 \cdot 0,25 +(4-3,07)^2 \cdot 0,30 +(5-3,07)^2 \cdot 0,10 +(6-3,07)^2 \cdot 0,02} \\ = \sqrt{1,7451} = \underline{\underline{1,3210}}[/tex]

b) Hun får en fast dagslønn på 500 kr pluss 150 kr for hver forsikring hun klarer å selge. Da er
[tex]L = 500+150X[/tex]
lønnen hennes på en tilfeldig valgt dag hun jobber.
Finn forventningsverdien og standardavviket til [tex]L[/tex].

[tex]E(L) = E(500+150X) = 500 + 150\cdot E(X) = 500 + 150\cdot 3,07 = \underline{\underline{960,5}}[/tex]
Hun kan altså forvente å tjene 960,50 kroner hver dag hun jobber.

[tex]\sigma = \sqrt{Var(L)} = \sqrt{Var(500+150X} = \sqrt{150^2 \cdot Var(X)} = \sqrt{22500 \cdot 1,7451} = \sqrt{39264,75} = \underline{\underline{198,15}}[/tex]

Oppgave 3
Et eiendomsmeglerfirma har to selgere, A og B, som bare selger eneboliger. La [tex]X[/tex] være tallet på boliger som A selger i løpet av ei uke. La [tex]Y[/tex] være tallet på boliger som B selger i løpet av ei uke. [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex] har da denne sannsynlighetsfordelingen:

Code: Select all

   x   | 0    | 1    | 2    | 3    | 4
P(X=x) | 0,15 | 0,10 | 0,50 | 0,20 | 0,05

Code: Select all

   y   | 0    | 1    | 2    | 3    | 4
P(Y=y) | 0,25 | 0,35 | 0,25 | 0,10 | 0,05 

a) Finn forventningsverdien til [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex].

[tex]E(X) = 0\cdot 0,15 + 1\cdot 0,10 + 2\cdot 0,50 + 3\cdot 0,20 + 4\cdot 0,05 = 0+0,10+1+0,60+0,20 = \underline{\underline{1,90}} \\ E(Y) = 0\cdot 0,25 + 1\cdot 0,35 + 2\cdot 0,25 + 3\cdot 0,10 + 4\cdot 0,05 = 0+0,35+0,50+0,30+0,20 = \underline{\underline{1,35}}[/tex]

b) Finn variansen til [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex].

[tex]Var(X) = (0-1,90)^2\cdot 0,15 + (1-1,90)^2\cdot 0,10 + (2-1,90)^2\cdot 0,50 + (3-1,90)^2\cdot 0,20 + (4-1,90)^2\cdot 0,05 = \underline{\underline{1,09}} \\ Var(Y) = (0-1,35)^2\cdot 0,25 + (1-1,35)^2\cdot 0,35 + (2-1,35)^2\cdot 0,25 + (3-1,35)^2\cdot 0,10 + (4-1,35)^2\cdot 0,05 = \underline{\underline{1,2275}}[/tex]

c) La [tex]Z=X-Y[/tex] og anta at [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex] er uavhengige.
Finn [tex]E(Z)[/tex] og [tex]Var(Z)[/tex]

[tex]E(Z) = E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 1,90 - 1,35 = \underline{\underline{0,65}} \\ Var(Z) = Var(X-Y) = Var(X) - Var(Y) = 1,09 - 1,2275 = -0,1375[/tex]
?? Kan ikke huske å ha fått negativ varians på prøven. Noen som ser noe galt?

d) Finn sannsynligheten for at selger A selger akkurat én enebolig mer enn selger B i uka.

[tex]P(X=Y+1) = P(X=1\wedge Y=0) + P(X=2\wedge Y=1) + P(X=3\wedge Y=2) + P(X=4\wedge Y=3) \\ = 0,10\cdot 0,25 + 0,50\cdot 0,35 + 0,20\cdot 0,25 + 0,05\cdot 0,10 = \underline{\underline{0,255}}[/tex]

Oppgave 4
Vi antar at sannsynligheten [tex]p[/tex] for at en tilfeldig valgt seriekamp i fotball ender uavgjort, er 0,20. I løpet av en sesong skal det spilles 182 kamper i vår øverste serie, Tippeligaen. La X være tallet på kamper som ender uavgjort i Tippeligaen i løpet av en sesong.

a) Finn forventningsverdien og standardavviket til [tex]X[/tex].

[tex]\mu = E(X) = 182\cdot 0,20 = \underline{\underline{36,4}} \\ \sigma = \sqrt{182 \cdot 0,20 \cdot 0,80} = \underline{\underline{5,40}}[/tex]

b) Finn [tex]P(30 \leq X \leq 42)[/tex].

Taster inn følgende på RUN på kalkulatoren (Casio):
Sum Seq(182 C X * 0,20^X * 0,80^(182-X),X,30,42,1)
Og deretter EXE. Får da svaret
[tex]P(30 \leq X \leq 42) = \underline{\underline{0,7718}}[/tex]

c) Finn [tex]P(X\geq 43)[/tex].

[tex]P(X \geq 43) = 1 - P(0 \leq X \leq 42) = 1 - 0,8700 = \underline{\underline{0,1300}}[/tex]
Via samme kalkulatorfunksjon som i oppgaven over.

d) Finn sannsynligheten for at [tex]X[/tex] ligger mindre enn to standardavvik fra forventningsverdien.

Den har vi vel diskutert nok her nå.

Oppgave 5
Det er kjent at lengden [tex]X[/tex] i døgn av et tilfeldig svangerskap som ikke ender i abort, er normalfordelt med forventningsverdi [tex]\mu = 266[/tex] og standardavvik [tex]\sigma = 16[/tex].

a) En kvinne mener hun til sammen var gravid i 234 døgn, men hun var under hele svangerskapet litt i tvil på om hun hadde regnet 1 måned feil.
Finn sannsynligheten for at et tilfeldig svangerskap varer i høyst 234 døgn.

[tex]P(X \leq 234) = \Phi\left( \frac{234-266}{16}\right) = \Phi(-2,00) = \underline{\underline{0,0228}}[/tex]
(Via normalfordelingstabellen.)

b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt svangerskap varer mellom 258 døgn og 274 døgn.

[tex]P(258 \ < \ X \ < \ 274) = \Phi \left(\frac{274-266}{16}\right) - \Phi \left(\frac{258-266}{16}\right) = \Phi (0,500) - \Phi (-0,500) = 0,6915 - 0,3085 = \underline{\underline{0,383}}[/tex]

Oppgave 6
Det er avholdt skolevalg ved en stor videregående skole. Resultatene viser at 30 % av elevene som stemte, stemte på Sosialistisk Venstreparti (SV). Dagen etter ble 30 tilfeldig valgte elever som stemte intervjuet om valget.
Finn sannsynligheten for at minst 10 av disse elevene stemte SV.

Ja, denne har vi vel også fått svar på tidligere her...

Tilbakemeldinger??

[193]

Er det ingen her som tar X-matematikken som privatist?

[Realist1]

Var dårlig med respons her, ja, 193. Kanskje faget ikke er så interessant for de fleste her inne?

Ser på SkoleArena at jeg har fått 5+ og 37 av 42 poeng på denne. Skulle gjerne hatt 6, men slik det utviklet seg til å bli må jeg si meg veldig fornøyd med 5+. Gleder meg til jeg får den tilbake og får sett hva læreren sier om de forskjellige oppgavene.

[Markonan]

De fleste oppgavene var jo greie, og det var en del statistikk, som jeg har et inntrykk av at de fleste her inne ikke er så begeistret for.

Litt morsom den sammenhengen mellom matematikk og statistikk. Det er et kjent fenomen at det er mange som studerer matematikk som hopper over til statistikk fordi det er litt lettere. Utrolig nok fører det også til bedre betalte jobber enn matematikk. Verden er et urettferdig sted.