matematikk.net

FredrikM wrote:Forøvrig har jeg litt problemer med å henge med på hvordan du gjør ting i det første "summe-tegn"-beviset ditt.

Jeg har skrevet beviset uten summetegn det med summetegn, der jeg går gjennom de samme stegene. Det går bare i triksing med uttrykkene.

Bevis:
[tex]1+4+9+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Den var kanskje litt vanskelig?

Steg 1: [tex]1=\frac{1*2*3}{6}[/tex] så formelen gjelder for [tex]n=1[/tex].

Steg 2:

Anta [tex]\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].

Da er [tex]\sum_ {i=1}^{n+1}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2[/tex].

Høyresiden kan omskrives:

[tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 = \frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6} \\ =\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}[/tex].

Vi ser at [tex]-2[/tex] og [tex]-\frac{3}{2}[/tex] er røtter i [tex](2n^2+7n+6)[/tex], så

[tex]\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \\=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}[/tex].

Formelen gjelder dermed for alle [tex]n\geq 1[/tex]

Kan slenge inn noen morsomme fakta om fibonaccitallene som blant annet bevises med induksjon. Ikke alle er like lette:

Hvis [tex]f_n[/tex] er det n'te fibonaccitallet, definert ved [tex]f_n+f_{n-1}=f_{n+1}[/tex] og [tex]f_1=f_2=1[/tex], vis at:

[tex](1) \ \ f_1+f_3+...+f_{2n-1}=f_{2n}[/tex]

[tex](2) \ \ f_2+f_4+...+f_{2n}=f_{2n+1}-1[/tex]

[tex](3) \ \ f_n=\frac{\phi^n-(1-\phi)^n}{\sqrt{5}} \ \ , \ \ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex](4) \ \ f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n[/tex]

[tex](5) \ \ f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}[/tex]

[tex](6) \ \ [/tex] Hvis [tex]M=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex], så er [tex]M^n=\begin{bmatrix} f_{n+1} & f_n \\ f_n & f_{n-1} \end{bmatrix}[/tex]

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

Den siste er ihvertfall grei nok:

[tex](6)\\M^{n+1}=\begin{bmatrix} f_{n+1} & f_n \\ f_n & f_{n-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix} (f_{n+1}+f_{n}) & f_{n+1} \\ (f_n+f_{n-1}) & f_{n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{n+2} & f_{n+1} \\ f_{n+1} & f_{n} \end{bmatrix}[/tex]

Jepp, fint.

1) Antar du mener fibonacci av oddetallige n her? Skriveleif?

Tester for n = 1: [tex]f_1 = f_2 = 1[/tex].

Antar at [tex]f_1 + f_3 + ... + f_{2k-1} = f_{2k}[/tex]. Da må det vises at dette impliserer [tex]f_1 + f_3 + ... + f_{2k-1} + f_{2k+1} = f_{2(k+1)[/tex].

Bruker antagelsen til å skrive om venstresida: [tex]f_{2k} + f_{2k+1} = f_{2(k+1)}[/tex]. Dette ser vi jo er selve definisjonen av fibonaccifølgen, og stemmer opplagt. Dermed har vi vist at hvis det stemmer for et tall n = k, så stemmer det også for n = k + 1. Siden det stemmer for n = 1, må det derfor gjelde for alle [tex]n \geq 1[/tex].

Jepp, du antok rett, og løsningen er riktig.
Skiftet det nå.

FredrikM wrote:Forøvrig har jeg litt problemer med å henge med på hvordan du gjør ting i det første "summe-tegn"-beviset ditt.

Daofeishi hadde en problemløsningsteknikker-tråd for lenge siden. Der introduserte han slike "teleskoprekker" (hvert ledd kanselerer det forrige, slik at rekken "foldes sammen" på samme måte som de gamle teleskopkikkertene gjorde).

Emomilol wrote:

FredrikM wrote:Forøvrig har jeg litt problemer med å henge med på hvordan du gjør ting i det første "summe-tegn"-beviset ditt.

Daofeishi hadde en problemløsningsteknikker-tråd for lenge siden. Der introduserte han slike "teleskoprekker" (hvert ledd kanselerer det forrige, slik at rekken "foldes sammen").

Tilfeldigvis søkte jeg litt rundt etter akkurat den artikkelen for et par timer siden, men fant den ikke. Hvis du finner den skriv gjerne navnet på tråden eller send meg en PM, jeg tenkte å gjøre den "sticky".

Problemløsingsteknikker

Jeg skulle gjerne sett at denne ble fortsatt på. (Den er veldig nyttig!)

Bevis (eller motbevis) påstanden min:
I en regulær sjukant ABCDEFG, der X er krysningspunktet mellom AC og BD, er AB+AX=AD

Ser med en gang at det ikke stemmer fordi [tex]\angle DAB>\angle XAB\Leftrightarrow \frac{\vec{AD}\cdot\vec{AB}}{|\vec{AD}||\vec{AB}|}<\frac{\vec{AB}\cdot \left(\vec{AX}+\vec{AB}\right)}{|\vec{AB}||\vec{AB}+\vec{AX}|}\Leftrightarrow \vec{AD}\neq \vec{AB}+\vec{AX}[/tex]

Dessuten:

[tex]\vec{AX_{\perp\vec{AB}}}<\vec{AD_{\perp\vec{AB}}}[/tex]

Så da er vel påstanden motbevist?


Funker dette?

Jarle10 wrote:[tex](2) \ \ f_2+f_4+...+f_{2n}=f_{2n+1}-1[/tex]

For n=1 blir det bare [tex]f_2=f_3-1[/tex], som stemmer. Antar at det stemmer for n=k, og ser om det stemmer for n=k+1.

[tex]f_2+f_4+...+f_{2k+2}=f_{2k+1}-1+f_{2k+2}=f_{2k+3}-1[/tex]

Så det stemmer.