matematikk.net

ettam wrote:Da var det slik at andregradsleddene forsvinner alikevel da...

thebreiflabb wrote:Det gjør vel strengt talt ikke det?

Ja likte den tråden her, alt blir forvirrende. Men det er nok min skyld da jeg tok med en ekstra x der den ikke hørte hjemme fra starten av :p

Dinithion: Jeg har kun sett på trådstarterens oppgave... Den lille feilen som snek seg inn underveis her, valgte jeg å ikke kommentere. Jeg ville se om de to fant denne feilen selv. Tenkte de begge kunne lære litt da...

Håper ingen ble "fornærmet" eller "forvirret" av det.

Ah

Svar til kahodad:
EDIT: Jeg gjorde to pinlige feil som skulle være rettet opp nå, håper ingen så dem. Veggen av tekst nedenunder er ikke for å skremme noen, men bare for å vise hvordan man kan finne x-verdiene i en andregradslikning uten å kunne abc-formelen, samt hvorfor abc-formelen er nyttig å kunne, samt at ikke alle problemer gir de vakre heltallsløsningene vi ofte ser i "skreddersydde" oppgaver.

Såvidt jeg skjønner forsøker du å løse andregradslikningen som oppstår hvis vi tar med feilen som thebreiflabb la inn?
Hvis du ikke har lært om løsning av andregradslikninger og abc-formelen ennå, kan dette være vrient.
Den såkalte abc-formelen sier at likningen
[tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex]
kan skrives om slik for å finne de mulige verdiene av x:
[tex]x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/tex]
(Akkurat som likningen [tex]2x = 4[/tex] kan skrives om til [tex]x = 2[/tex])

Beviset for denne nyttige abc-formelen er egentlig ikke vanskelig, men krever at man holder tungen rett i munnen med regning med bokstaver.

Du forenklet uttrykket ditt helt korrekt ned til linja
[tex]I: x^2 + x - \frac{2}{3} = 0[/tex]
For å komme videre ønsker vi å fullføre et kvadrat ifølge 1. (eller 2.) kvadratsetning [tex](x + a)^2 = x^2 + 2 a x + a^2[/tex], så vi skriver om likningen over:
[tex]I: x^2 + 2 \frac{1}{2} x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - \frac{2}{3} = 0[/tex]
Her har jeg skrevet om x til [tex]2 \frac{1}{2} x[/tex] og lagt til og trukket fra samme tall [tex](\frac{1}{2})^2[/tex] på venstre side av likningen.
Dette synes i første omgang ikke å gjøre uttrykket noe enklere, men er åpenbart tillatt. Grunnen til disse krumspringene er at vi nå kan trekke de tre første leddene sammen til en parentes opphøyd i annen. Uttrykket blir da (etter å ha brukt kvadratsetningen):
[tex]I: (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} = 0[/tex]
eller for å samle de konstante brøkene på felles nevner:
[tex]I: (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{11}{12} = 0[/tex]

Neste trinn blir å bruke den såkalte konjugatsetningen (for et oppklarende navn) [tex](a + b) (a - b) = a^2 - b^2[/tex]
Vi skriver da om likning I på denne måten:
[tex]I: (x + \frac{1}{2})^2 - (\sqrt{\frac{11}{12}})^2 = 0[/tex]
Nå har vi på venstre side av likningen et uttrykk på formen i konjugatsetningen, med [tex]a = (x + \frac{1}{2})[/tex] og [tex]b = \sqrt{\frac{11}{12}}[/tex]
Vi kan altså skrive om likningen vår slik:
[tex]I: (x + \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{11}{12}}) (x + \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{11}{12}}) = 0[/tex]
Ved utregning blir dette avrundet:
[tex]I: (x + 1,46) (x - 0,46) = 0[/tex]
For at venstre side i denne likningen skal bli null, må ett av parentesuttrykkene (eller begge) være lik null.
Altså får vi som løsning at


[tex]x = - 1,46[/tex] eller [tex]x = 0,46[/tex]

Dette ser jo ikke helt vakkert ut, men jeg håper jeg har regnet riktig (at utregningen er riktig kan kontrolleres ved å sette x-verdiene inn i den opprinnelige andregradslikningen og se at svaret blir null).
Ikke uten grunn velger man å pugge abc-formelen over, og bare plugge inn verdiene for a, b og c fra annengradsuttrykket. Beviset for at abc-formelen er riktig kan følge metoden over med bruk av 1. kvadratsetning og konjugatsetningen, bare at man regner med bokstaver istedet for å sette inn tall. (I vårt tilfelle var a = 1, b = 1 og c = -2/3)

Tusen takk for svar, nå forstår jeg endelig litt mer.