Page 2 of 3
Posted: 20/06-2008 21:52
by Dinithion
Fysj da mattenoob. Det er jo ikke lov!
Ett eksempel som gjør det lettere å se hvorfor det ikke er lov:
[tex]\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \\ \sqrt{2 + 2} = \sqrt{2} + \sqrt{2}\, \g\, 2[/tex]
Jeg kommer bare på en måte å løse den opp på, og det er å kvadrere begge sider. Kanskje våre matematikere har en pen løsning.
Posted: 20/06-2008 22:07
by MatteNoob
Hei, Dinithion.
Sjekk ut
Jarle10 sitt svar på spørsmålet. Det var godt :]
Posted: 21/06-2008 00:00
by ettam
MatteNoob wrote:Dette er ikke et trigonometriproblem, men jeg kom over dette da jeg forsøkte å forenkle en eksakt verdi.
Her er hva jeg mener.
Vi har feks uttrykket:
[tex]\sqrt{\frac{sqrt 2}{4}}[/tex]
[tex]\sqrt 2 \Rightarrow (2)^{\frac 12}[/tex]
Dermed tenkte jeg at:
[tex]\sqrt{\frac{\sqrt 2}{4}} \Rightarrow \left(\frac{2^{\frac 12}}{4}\right)^{\frac 12}[/tex]
Og siden:
[tex]\left(\frac 24\right)^2 \Rightarrow \frac{2^2}{4^2}[/tex]
Så trodde jeg også at:
[tex]\left(\frac{2^{\frac 12}}{4}\right)^{\frac 12} \Rightarrow \frac{2^{\frac 12 \cdot \frac 12}}{4^{\frac 12}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}[/tex]
Og alt dette er jo riktig, men hvorfor går det ikke når uttrykket er:
[tex]\sqrt{\frac{\sqrt 2 + 2}{4}} \neq \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt 2}{2}[/tex]
Har dette noe med at idet vi slenger ei rot om to ledd, så blir dette en egen faktor? mao:
[tex]\sqrt{(\sqrt 2 + 2)} = (2^{\frac 12} + 2)^{\frac 12}[/tex]
Hvordan skal man i tilfellet løse ut denne parentesen? Den vil jo bare ganges med seg selv en halv gang, hehe. (Helt sikkert tett spørsmål, men jeg synes faktisk dette var både pussig og interessant)
n-te rot (eller her: kvadratrot) er ingen lineær operator.
Dvs.: [tex]\sqrt[n]{a+b} \ne \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}[/tex]
Posted: 22/06-2008 01:46
by MatteNoob
Takker for svar på de foregående spørsmålene.
Jeg fant den trigonometriske likningen nedenfor, men her står det helt stille.
[tex]cos(2x) = 2\cdot cos(x) \cdot sin(x)[/tex]
Hva gjør jeg her?
Posted: 22/06-2008 02:04
by Karl_Erik
Se på alternative måter å skrive sin(2x) på og se om du ikke får en god idé.
Posted: 22/06-2008 02:09
by MatteNoob
Karl_Erik wrote:Se på alternative måter å skrive sin(2x) på og se om du ikke får en god idé.
Du mener cos(2x) nå?
Posted: 22/06-2008 02:29
by Karl_Erik
Niks. Lek deg litt med formlene for sinus til en sum om du må og se om du ikke finner noe som ser kjent ut som uttrykk for sin(2x).
Posted: 22/06-2008 03:17
by MatteNoob
Jøss,
[tex]sin(2x) \Leftrightarrow 2\cdot sinx \cdot cos x[/tex]
Tusen takk skal du ha
Posted: 22/06-2008 21:23
by MatteNoob
Okey, nå har jeg plundret litt med
[tex]cos(2x) = 2\cdot sin(x) \cdot cos(x)\,\,\,\, x\in [0\textdegree , \, 360\textdegree \rangle[/tex]
en stund. Jeg kom frem til to av fire løsninger, derfor ga jeg den til espen180, for å se hva han fikk til, han kom frem til alle fire løsningene, men han er usikker på om metoden var riktig.
Kan noen av dere gjøre den, så vi får se hvordan dere angriper den?
Posted: 22/06-2008 21:37
by Dinithion
[tex]cos\, 2x \ne 2sin\, x\, cos\, x \\ cos\, 2x = cos^2\, x - sin^2\, x = 2cos^2\, x - 1 = 1 - 2sin^2\, x[/tex]
Prøv nå
Posted: 22/06-2008 23:56
by Karl_Erik
Formelen din er helt riktig, Dinithion, men tar jeg ikke helt feil er dette en likning som altså ikke skal holde for alle x-verdier, bare for noen. Som man ser kan likningen forenkles til cos(2x)=sin(2x), eller tan(2x)=1. ( cos(2x) kan ikke være null fordi hva?) Når man også får oppgitt at x ligger mellom 0 og 360 grader burde denne likningen være grei å løse, burde den ikke?
Posted: 23/06-2008 00:05
by MatteNoob
@ Karl_erik:
Slik gjorde jeg:
[tex]cos(2x) = 2\cdot sinx \cdot cos x \\ \, \\ \frac{cos(2x)}{cos(2x)} = \frac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ \, \\ tan(2x) = 1 \\ \, \\ 2x = tan^{-1}(1) \\ \, \\ 2x = 45\textdegree \\ \, \\ x = 22.5\textdegree[/tex]
Så vet vi at [tex]tan(v) = tan(v+180\textdegree)[/tex]
Dermed har vi:
[tex]x = 22.5\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, 202.5\textdegree[/tex]
Men det er to løsninger til i første omløp også.. Det er disse jeg ikke finner.
Posted: 23/06-2008 00:26
by Dinithion
Jeg skjønte ikke det.
Posted: 23/06-2008 00:29
by MatteNoob
Dinithion wrote:Jeg skjønte ikke det.
Nei, det så ut som om du trodde jeg definerte cos(2x), men det var en likning. Skjønner du noe av denne likningen? Jeg fatter ikke hvorfor jeg ikke finner alle fire svarene.
Posted: 23/06-2008 00:40
by MatteNoob
[tex]cos(2x) = 2\cdot sinx \cdot cos x \\ \, \\ \frac{cos(2x)}{cos(2x)} = \frac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ \, \\ tan(2x) = 1 \\ \, \\ \frac{2tan x}{1-tan^2x} = 1 \\ \, \\ 2tanx = 1-tan^2x \\ \, \\ tan^2x + 2tanx -1 = 0 \\ \, \\ u^2 + 2u -1 = 0 \\ \, \\ u_1 = 0.4142 \,\,\, \vee \,\,\, u_2 = -2.4142[/tex]
Dermed har vi:
[tex]x = 22.5\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, 202.5\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, 292.5\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, 112.5\textdegree[/tex]
I AM THE MAN hehehehe
