Rekker 3MX, jeg løser

[BMB]

Angående opg. 1.12. Kan ikke noe særlig om aritmetiske rekker, så kanskje du kan forklare dette for meg:

[tex]a_n=a_1+dn[/tex]

Du sier at [tex]a_1=650[/tex] og [tex]d=60[/tex]. Men blir ikke da

[tex]a_1=a_1+60 \cdot 1[/tex] en selvmotsigelse???

[MatteNoob]

Jeg tror du bør lese oppgaveteksten på b) på nytt... Det står 5 sigaretter pr. dag, ikke måned.

Joda, det er nå så, men 5 sigaretter per dag, i innestående måned. Jeg forstår utmerket godt at de ikke mener 5 sigaretter per måned, men jeg regnet med at hun trappet ned 60 sigaretter den 1 i hver måned. Dersom hun hadde gjort det, ville hun aldri hatt under 5 sigaretter per dag.

Edit: Jeg så at jeg hadde skrevet per måned i oppgaven, det er selvfølgelig feil. Jeg tenkte selvfølgelig dager, men klarte å skrive måned. :]

@ BMB:
Jo, det har du rett i, det er rettet opp i nå, takk for at du observerte denne feilen. :]

[espen180]

Jeg tror du bør lese oppgaveteksten på b) på nytt... Det står 5 sigaretter pr. dag, ikke måned.

Joda, det er nå så, men 5 sigaretter per dag, i innestående måned. Jeg forstår utmerket godt at de ikke mener 5 sigaretter per måned, men jeg regnet med at hun trappet ned 60 sigaretter den 1 i hver måned. Dersom hun hadde gjort det, ville hun aldri hatt under 5 sigaretter per dag.

Joda. Vi antar for vår beleielighet at hver måned har 30 dager. [tex]5\cdot30=150[/tex]. Fra og med hvilken måden røyker hun under 150 sigaretter pr. måned?

[tex]500-60n<150 \\ 350<60n \\ n>5.8\overline{3} \\ 500-60\cdot6=140 \\ \underline{\underline{Fra \, og \, med \, juni \, roeyker \, hun \, under \, 5 \, sigaretter \, per \, dag.}}[/tex]

På oppgave 1.12 fant jeg:


[tex]a_n=590+60n[/tex]

[MatteNoob]

På oppgave 1.12 fant jeg:
[tex]a_n=490+60n[/tex]

Hvordan kom du frem til det, når det første leddet er 650?

[tex]490 + 60 \neq 650[/tex]

*gni det inn*

[espen180]

Skriveleif, mente 590.

Fikset det.

[BMB]

Espen180, skal det ikke heller være 350<60n?

[espen180]

Jo. Det gikk visst litt fort i svingene der.

[MatteNoob]

Skjønte det, espen, måtte bare gnukke og gni det inn, hehe :] Setter pris på at dere engasjerer dere i tråden. Ingenting er som konstruktiv kritikk og alternative løsninger/forklaringer :]

Finn oddetall nummer 60

[tex]a_n = 2n - 1 \\ \, \\ a_{60} = 2\cdot 60 - 1 = \underline{\underline{119}}[/tex]

Elin bestemte seg for å spare etter en bestemt plan. I 2000 sparte hun 1600 kroner. Deretter vil hun øke sparebeløpet med et like stort beløp hvert år. Ifølge planen vil sparebeløpet være 2200 kroner i 2004. Hvor mye må Elin spare i 2006 for å holde planen.

Jeg antar at de mener sparebeløpet for 2000, og dermed er innestående saldo per. 1 januar 2001 kr. 1600.

Videre blir det årlige sparebeløpet 2200 kroner f.o.m 1 januar 2004. Økningen av dette beløpet, blir lagt til årlig.

Tabellen nedenfor viser hva vi salderer kontoen med, hvis vi satte inn beløpet den 1.1.200x
[tex]\begin{matrix} ar & kroner \\ 2001 & 1600 \\ 2005 & 2200 \end{matrix}[/tex]

Vi vil finne differensen, d.

[tex]d = \frac{2200 - 1600}{4} = \underline{150}[/tex]

[tex]a_n = a_0 +dn \Rightarrow a_6 = 1600 + 150 \cdot 6 = \underline{\underline{2500\, kr}}[/tex]

[espen180]

Her har du en utfordring, Mattenoob (Ikke så mye, egentlig...)

Finn the tusenede Fibonacci-tallet.

[MatteNoob]

Bruk formelen for [tex]a_n[/tex] til å finne antall ledd i rekka

[tex]100+103+106+\ldots + 700[/tex]

Vi ser at d=3

Dermed har vi at
[tex]a_n = 97+3n[/tex]

Vi vil vite hvor mange ledd, n, der er, for [tex]a_n = 700[/tex]

[tex]97+3n = 700 \\ \, \\ n = \frac{603}{3} \\ \, \\ \underline{\underline{n = 201}}[/tex]

[Charlatan]

Finn the tusenede Fibonacci-tallet.

[tex]F_{1000}=\frac{\phi^{1000}-(1-\phi)^{1000}}{\sqrt{5}} \ , \ \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex]

[espen180]

Finn the tusenede Fibonacci-tallet.

[tex]F_{1000}=\frac{\phi^{1000}-(1-\phi)^{1000}}{\sqrt{5}} \ , \ \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex]

Presis.

Eller:

[tex]F_{1000}=\frac{\phi^{1000}-(-\phi)^{-1000}}{\sqrt{5}}[/tex]

[MatteNoob]

Takk for at dere lot meg se løsningen, det var den nøtta!

Jeg skjønte at det hadde noe å gjøre med definisjonen på [tex]\phi[/tex], så da får jeg vel hygge meg med at jeg i det minste skjønte det, hehehe.

[MatteNoob]

En bedrift hadde en omsetning på 15 millioner kroner i 2000.

Bedriften regner med å øke omsetningen med 300 000 kr hvert år frem til 2006.

a) Hvilken omsetning vil det gi i 2006?

b) Hva blir samlet omsetning i årene 2000-2006?

c) Regn ut den gjennomsnittlige årsomsetningen i denne perioden etter denne prognosen.

a)
[tex]a_n = 15 + \frac{3}{10}n \,\,\,\,\,\, i\, mill\, kr[/tex]

[tex]a_6 = 15 + \frac{18}{10} = \underline{\underline{16.8\, mill\, kr}}[/tex]

b)
[tex]S_6 = \frac{a_0 + a_6}{2} \cdot n \Rightarrow \frac{15 + 16.8}{2} \cdot 7 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode:
[tex]\int_{0}^{7}\left(15 + \frac {3}{10}n\right)dx = \left[15n + \frac{3}{20}n^2\right]_{0}^{7} = F(7) - F(0) = \left(15\cdot 7 + \frac{3}{20} \cdot 7^2\right) - 0 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}} [/tex]

Alternativ løsningsmetode 2:
[tex]\sum_{n = 0}^6\left(15 + \frac{3}{10}\cdot n\right) = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

c)
Vi finner medianen, m.

[tex]m = \frac{S_5}{n} \Rightarrow \frac{111.3}{7} = \underline{\underline{15.9\, mill\, kr}}[/tex]

[MatteNoob]

Finn hvor mange ledd det er i summen. Regn ut summen.

a) [tex]3+6+9+12+ \ldots + 45[/tex]

b) [tex]100 + 150 + 200 + \ldots + 20000[/tex]

c) Skriv opp uttrykkene i oppgavene a og b ved hjelp av [tex]\Sigma[/tex]

a)
[tex]a_n = 3n \\ \, \\ 3n = 45 \\ \, \\ \underline{\underline{n = 15}}[/tex]

[tex]S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot n \Rightarrow \frac{720}{2} = \underline{\underline{360}}[/tex]

b)
[tex]a_n = 50(1+n)[/tex]

[tex]50(1+n) = 20000 \\ \, \\ n = 400 - 1 \\ \, \\ \underline{\underline{n = 399}}[/tex]

[tex]S_{399} = \frac{399(100 + 20000)}{2} = \underline{\underline{4009950}}[/tex]

c)
For a)
[tex]\sum_{n=1}^{15}3n[/tex]

For b)
[tex]\sum_{n=1}^{399}50(1+n)[/tex]