Vektorfunksjoner

[ini]

Hei!

Kan dere hjelpe meg med en oppgave?

En vektorfunksjon gitt ved

r(t) = [(t^2)+2 , 9t-(t^3) ]

Kurven har tre tangenter som er parallelle med koordinataksene. Finn likningene til disse tre tangentene.

Utregning:
Vektorfunksjonen har ingen skjæringspunkter med y-aksen men skjærer med x-aksen i to punkter som svarer til t-verdiene t=0, t=-3 og t=3

Den deriverte vektorfunksjonen blir

r'(t) = [2t , 9 - 3t^2]

hvis y = f(t) = 9 -3t^2 så er

f(t) = f'(t) *t + b

Prøvde å sette inn for t = 0, men svaret stemmer ikke. Jeg tenker nok feil. Noen som kan hjelpe?:)

[Vektormannen]

Hvorfor regner du ut skjæringspunkter?

Hvis tangenten er parallell med x-aksen så er [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [1,0][/tex] og hvis den er parallell med y-aksen så er [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [0,1][/tex]. Bruk dette til å finne t-verdier!

[ini]

Jeg tenkte at tangentene ville være parallelle med skjæringspunktene siden skjæringspunktene ligger på koordinataksene, men jeg aner ikke helt hva jeg gjør.. synes dette temaet er vanskelig.

Kan du værsåsnill å forklare litt mer? Hvordan kommer du fram til [1,0] ? kunne det ha stått [3,0] ?

og jeg finner s = 2*[symbol:rot]3 og s = 2* -[symbol:rot]3 og s= 9, men jeg får ikke riktige likninger med framgangsmåten jeg nevnte ovenfor.

[Vektormannen]

Ja, det kunne stått [3,0]. En hver vektor [k,0] er jo parallell med x-aksen, og en hver vektor [0,k] er parallell med y-aksen. Dette er jo lett å se grafisk -- hvis du ikke går noen "steg" langs y-aksen, så må jo vektoren peke langs x-aksen, må den ikke?

Her setter du rett og slett opp det jeg sa, at [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [1,0][/tex]. Det vil si at [tex]\vec{r}^\prime(t) = k \cdot [1,0] = [k,0][/tex]. Det gir deg to ligninger, en for x-komponentene og en for y-komponentene.

Gjør akkurat det samme for å finne t-verdien der tangenten er parallell med y-aksen, bare at du nå bruker at [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [0,1][/tex].

For å finne ligningene til tangentene trenger du bare å vite hvor linjene skal tangere. Det får du ved å sette t-verdien inn i [tex]\vec{r}(t)[/tex].

[ini]

Tusen takk for hjelpen. Jeg ser hva du gjør, men jeg skjønner ikke hvordan du tenker. Hva mener du med "hvor linjene skal tangere"?

[Vektormannen]

Du skal jo finne ligningene til tangentene. De vil være på formen y = k for de to som er parallelle med x-aksen, og på formen x = k for den som er parallell med y-aksen. Du må jo vite hvor tangentene skal tangere, altså være borti grafen hvis du skal finne en ligning for linjene. Det gjør du som sagt ved å sette t-verdiene inn i [tex]\vec{r}(t)[/tex]. Da får du ut tangeringspunktene.

Jeg kan vise hvordan du finner ligningen til tangenten som er parallell med y-aksen. Denne har tangeringspunkt i punktet der t = 0. Setter du inn 0 får du punktet (2, 0). Siden dette er en vertikal linje, parallell med y-aksen, er den på formen x = k. x-komponenten til tangeringspunktet er 2, altså må ligningen til linja være x = 2.

Fremgangsmåten for å finne ligningene til tangentene som er parallelle med y-aksen er nesten den samme.

[ini]

tusen takk! snilt av deg å hjelpe:)