Kvadrater i kvadrat

[mrcreosote]

For hvert naturlige tall n har vi et kvadrat med sidelengde 1/n. Vis at disse kan plasseres inni et kvadrat med sidelengde 3/2 på en måte så forskjellige kvadrater ikke har overlappende indre punkter.

[Mayhassen]

Vil ikke disse kvadratene ta uenderlig stor plass etterhvert da?
Misforstår sikkert noe her, kan du si det slik jeg skjønner det

[mrcreosote]

Neida, det totale arealet er 1/1+1/4+1/9+...; dette er mindre enn 9/4 som er arealet av det store kvadratet. Nå skal du vise at du kan legge alle småkvadratene inni det store kvadratet på en ikke-overlappende måte.

[Mayhassen]

Jeg vet jo at summen av denne rekka blir [symbol:pi] ²/6 , men holder det å vise dette?
Ikke unaturlig å tenke at hvis man har en stor flate, og skal legge ut noe som totalt har mindre flate, vil det bli plass uten overlapping. Det er jo kvadrater og da er det jo ikke så vanskelig å tenke seg til at det går, men å vise dette nærmere matematisk ser ikke jeg hvordan.

[mrcreosote]

Sett at du skulle legge det inn i et rektangel av dimensjon 1/2*10 hadde du hatt rikelig med plass. Problemet er at det største kvadratet må deles opp, og det har du ikke lov til. Du må altså vise at du får plass til alle småkvadratene i det store uten å bruke saks.

[thebreiflabb]

Vet ikke om dette holder, men prøver

Hver gang n øker, vil kvadratet bli mindre, ergo vil alltid "det neste" kvadratet få plass i det foregående kvadratet.

[mrcreosote]

Poenget er at de ikke skal overlappe, det gjør de hvis du legger de inni hverandre.

[Mayhassen]

Problemet er at det største kvadratet må deles opp, og det har du ikke lov til

Jeg skal vel legge det inn i kvadratet med 3/2?
Med første kvadrat tar jeg opp 2/2 langs begge sider ut fra et hjørnepunkt, da er det plass til neste kvadrat rett under som har sidelengde 1/2, slik kan jeg fortsette vel?
Det er jo "god" plass til resten også, siden jeg alltid kan fylle inn de små tomrommene som oppstår jo lenger ut i rekka jeg kommer.

Kan du gi et svar da? Drar snart på ferie og jeg vil ha et svar

[mrcreosote]

Det er jo "god" plass til resten også, siden jeg alltid kan fylle inn de små tomrommene som oppstår jo lenger ut i rekka jeg kommer.

Dette var ikke mye til argument. Hvorfor er dette så opplagt?

[Mayhassen]

Argumentet mitt var lenger opp, at jeg hadde plassen til det pga at det totale arealet av alle kvadratene var mindre enn 9/4, hvordan jeg skulle sagt det annerledes vites ikke.

[mrcreosote]

Argumentet mitt var lenger opp, at jeg hadde plassen til det pga at det totale arealet av alle kvadratene var mindre enn 9/4, hvordan jeg skulle sagt det annerledes vites ikke.

Argumentet mitt for at dette ikke holder er i posten under.