Konveks firkant
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Gjør ikke noe om firkanten ikke er konveks.
La de komplekse tallene [tex]z_1, z_2, z_3, z_4[/tex] være hjørnepunktene til firkanten i Argand-planet. Da ser vi at senterpunktene vi er ute etter er:
[tex]s_1 = z_1 + \frac 1 2 (1 + i)(z_2 - z_1) \\ s_2 = z_2 + \frac 1 2 (1+i)(z_3-z_2) \\ s_3 = z_3 + \frac 1 2 (1+i)(z_4-z_3) \\ s_4 = z_4 + \frac 1 2 (1+i)(z_1 - z_4)[/tex]
Linjene er da representert av:
[tex]D_1 = s_3 - s_1 = \frac 1 2 (1+i)(z_4 - z_3 - z_2 + z_1 + (z_3 - z_1)(1-i)) \\ D_2 = s_4 - s_2 = \frac 1 2 (1+i)(z_1 - z_4 - z_3 + z_2 + (z_4-z_2)(1-i))[/tex]
vi ser at [tex]\frac{D_2}{D_1} = \frac{z_4 - iz_3 -z_2 + iz_1}{z_1 - iz_4 - z_3 +iz_2} = i[/tex], så [tex]D_2 = iD_1[/tex], hvilket betyr at de har samme lengde og står vinkelrett på hverandre.
La de komplekse tallene [tex]z_1, z_2, z_3, z_4[/tex] være hjørnepunktene til firkanten i Argand-planet. Da ser vi at senterpunktene vi er ute etter er:
[tex]s_1 = z_1 + \frac 1 2 (1 + i)(z_2 - z_1) \\ s_2 = z_2 + \frac 1 2 (1+i)(z_3-z_2) \\ s_3 = z_3 + \frac 1 2 (1+i)(z_4-z_3) \\ s_4 = z_4 + \frac 1 2 (1+i)(z_1 - z_4)[/tex]
Linjene er da representert av:
[tex]D_1 = s_3 - s_1 = \frac 1 2 (1+i)(z_4 - z_3 - z_2 + z_1 + (z_3 - z_1)(1-i)) \\ D_2 = s_4 - s_2 = \frac 1 2 (1+i)(z_1 - z_4 - z_3 + z_2 + (z_4-z_2)(1-i))[/tex]
vi ser at [tex]\frac{D_2}{D_1} = \frac{z_4 - iz_3 -z_2 + iz_1}{z_1 - iz_4 - z_3 +iz_2} = i[/tex], så [tex]D_2 = iD_1[/tex], hvilket betyr at de har samme lengde og står vinkelrett på hverandre.