Periodiske funksjoner 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

Tegn grafen til funksjonene

[tex]\underbrace{f(x) = cos(x)\; g(x) = cos(x+0.8)\; h(x) = cos(x-1.4)}_{x\in [0,\, 2\pi\rangle[/tex]

Hvor mye er grafene til g og h faseforskjøvet i forhold til grafen til f?

Vi vet at for [tex]cos(cx\pm \phi)[/tex] angir [tex]\left| \frac \phi c \right|[/tex] faseforskyvningen. Dermed kan vi si at cos(x) ikke er faseforskjøvet.

g(x) er faseforskjøvet 0.8 mot venstre, mens h(x) er faseforskjøvet 1.4 mot høyre (i forhold til f(x) )

Dette fordi:
[tex]\frac \phi c \, >\, 0 \text{ mot venstre} \\ \, \\ \frac \phi c \, < \, 0\text{ mot hoyre}[/tex]

[MatteNoob]

Tegn grafene til

[tex]a(x) = sin x \\ \, \\ b(x) = cos x[/tex]

a) Hvor mye er sinusgrafen faseforskjøvet i forhold til cosinusgrafen?

b) Hvor mye er cosinusgrafen faseforskjøvet i forhold til sinusgrafen?

a)
Som vi ser av tegningen, er sinus forskjøvet [tex]\frac \pi 2[/tex] til høyre i forhold til cosinusgrafen.

b)
Dermed er cosinusgrafen forskjøvet [tex]\frac \pi 2[/tex] til venstre i forhold til sinusgrafen.

[MatteNoob]

Tegn grafen til f på lommeregneren når:

a) [tex]f(x) = 2sin x[/tex]

b) [tex]f(x) = 4sin x+1[/tex]

c) [tex]f(x) = -3sin x-2[/tex]

d) [tex]f(x) = 1.4sin(2x)-2.1[/tex]

Bestem amplituden, likevektslinjen og verdimengden for hver funksjon.

Felles for alle oppgavene har vi: [tex]f(x) = A\cdot \sin(c\cdot x \pm \phi) + d[/tex]

Der:
[tex]A = \text{ amplitude} \\ \, \\ f_{min} = d-A \\ \, \\ f_{maks} = d+A \\ \, \\ d= \text{likevektslinje} \\ \, \\ V_f = \left[f_{min},\; f_{maks}\right][/tex]

Jeg velger å løse oppgavene matematisk fremfor grafisk.

a)
[tex]A=2[/tex]

Vi finner ekstremalverdiene for funksjonen slik:

[tex]f_{min}\, = -2+0 = -2 \\ \, \\ f_{maks}\, = 0+2 = 2 \\ \, \\ V_f \, = \, \left[-2, \, 2\right][/tex]

Dermed blir likevektslinjen 0.

b)
[tex]A = 4 \\ \, \\ f_{maks} = 1+4 = 5 \\ \, \\ f_{min} = 1-4 = -3 \\ \, \\ d = 1 \\ \, \\ V_f = \left[-3,\, 5\right][/tex]

c)
[tex]A=-3 \\ \, \\ f_{min} = -2 -(-3) = -2 + 3 = \underline{\; 1\;} \\ \, \\ f_{maks} = -2+(-3) = -2-3 = \underline{\, -5\, } \\ \, \\ V_f=\left[-5,\, 1\right] \\ \, \\ d=-2[/tex]

d)
[tex]A=1.4 \\ \, \\ d=-2.1 \\ \, \\ f_{min}\, = -2.1 - 1.4 = -3.5 \\ \, \\ f_{maks}\, = -2.1 + 1.4 = -0.7 \\ \, \\ V_f = \left[-3.5,\, -0.7\right][/tex]

[MatteNoob]

Finn amplituden og perioden til funksjonen uten å tegne funksjonsgrafen når:

a) [tex]f(x) = cos(8x)[/tex]

b) [tex]f(x) = 3cos(\pi x)[/tex]

c) [tex]f(x) = -sin(-0.5x)[/tex]

d) [tex]f(x) = -4sin(3\pi x)[/tex]

a)
[tex]\rm{A} = 0 \\ \, \\ \rm{P} = \frac{2 \pi }{8} = \frac{\pi}{4}[/tex]

b)
[tex]\rm{A} = 3 \\ \, \\ \rm{P} = \frac{2 \pi }{\pi} = 2[/tex]

c)
[tex]\rm{A} = -1 = |\rm{A}| = 1 \\ \, \\ \rm{P} = \frac{2 \pi }{|-\frac 12|} = \frac{2\pi}{\frac 12} = 4\pi[/tex]

c)
[tex]\rm{A} = -4 = |\rm{A}| = 4 \\ \, \\ \rm{P} = \frac{2 \pi }{3\pi} = \frac 23[/tex]

Merk at amplituden, A, ikke er en negativ verdi.

[MatteNoob]

a) Finn en cosinusfunksjon som passer til grafen på figuren.

b) Finn en sinusfunksjon som passer til grafen på figuren.

a)
Vi ser av grafen på bildet at:
[tex]d = 0 \\ \, \\ f_{min} = -2 \\ \, \\ f_{maks} = 2[/tex]

Dermed finner vi amplituden slik:
[tex]\rm{A} = \frac{f_{maks} - f_{min}}{2} = \frac{2-(-2)}{2} = \underline{\; 2\;}[/tex]

Videre velger vi to vilkårlige punkter, der grafen mellom dem har gjort en hel syklus, for å finne perioden.

[tex]M=(0.5,\; 0) \\ \, \\ N= (4.5,\; 0)[/tex]

[tex]\rm{c} = \frac{2\pi}{4.5-0.5} = \frac{2\pi}{4} = \frac \pi 2[/tex]

Dernest vil vi finne faseforskyvningen, og vi vet at:
[tex]f(x) = 2\cdot \cos\left(\frac \pi 2 x + \phi \right)[/tex]

Igjen ser vi på grafen og finner at funksjonen er 0 for [tex]x=\frac 12[/tex]. Dermed:

[tex]2\cos\left(\frac \pi 2 \cdot \frac 12 + \phi\right) = 0 \\ \, \\ \cos(\frac \pi 4 + \phi) = 0 \\ \, \\ \phi + \frac \pi 4 = \arccos(0) \\ \, \\ \phi = \frac \pi 2 -\frac \pi 4 \\ \, \\ \phi = \frac \pi 4[/tex]

Dermed vil en cosinusfunksjon som passer til grafen på illustrasjonen være:

[tex]f(x) = 2\cdot \cos\left(\frac \pi 2 x + \frac \pi 4\right)[/tex]

b)
Cosinusfunksjonener som kjent faseforskjøvet [tex]\frac \pi 2[/tex] til venstre for sinusfunksjonen. Av dette har vi at [tex]\frac \phi c \, >\, 0[/tex] og derfor kan vi gjøre som følger:

[tex]\phi \, = \, \frac \pi 4 + \underbrace{\left(\frac \pi 2\right)}_{\text{faseforskyvning for \\sin mht cos}} = \frac {3\pi}{4}[/tex]

[tex]f(x) = 2\cdot \sin\left(\frac \pi 2 x + \frac{3\pi}{4}\right)[/tex]

Jeg er litt usikker på metodikken jeg nyttet for å finne frem til [tex]\color{red}{\phi}[/tex] hvis noen har digresjoner eller andre metoder for å finne denne, vær grei å forklar dem.

[MatteNoob]

Finn en cosinusfunksjon f(x) når

a) f(x) har periode 24 og amplitude 3

b) f(x) har periode [tex]\frac \pi 2[/tex] og amplidute 3

c) f(x) har periode 0.45 og amplitude 1.13

a)
[tex]P = \frac{2\pi}{|c|} \Rightarrow c = \frac{2\pi}{P}[/tex]

[tex]c=\frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}[/tex]

[tex]f(x) = 3\cos(\frac{\pi}{12}x)[/tex]

b)
[tex]c=\frac{2\pi}{\frac \pi 2} = 4 \\ \, \\ f(x) = 3\cos(4x)[/tex]

c)
[tex]c=\frac{2\pi}{0.45} \approx 13.96 \\ \, \\ f(x) = 1.13\cos(13.96x)[/tex]

[MatteNoob]

Figuren viser grafen til en sinusfunksjon. Mål på figuren og finn et funksjonuttrykk for funksjonen.

Måler en syklus fra bunnpunktet (0.5, 1) til (4.5, 1)

[tex]P=\Delta x = x_2 - x_1 = 4.5-0.5 = 4[/tex]

[tex]c=\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]d = \frac{y_{maks}\, +\, y_{min}}{2} = \frac{5+1}{2} = 3[/tex]

[tex]A=\frac{y_{maks}\, - \, y_{min}}{2} = \frac{5-1}{2} = 2[/tex]

Videre vet vi at en "ren" sinusfunksjon, altså [tex]\sin(x)[/tex], starter i origo og stiger mot 1. Her har vi hittil funnet:

[tex]2\cdot \sin(\frac \pi 2 x+\phi)+3[/tex]

og følgelig vil vi finne [tex]\phi[/tex]. Vi ser av illustrasjonen at grafen krysser likevektslinjen, d, stigende første gang i punktet (1.5, 3) eller [tex]\left(\frac 32,\; 3\right)[/tex] Dermed får vi likningen:

[tex]2\cdot \sin(\frac \pi 2 \cdot \underbrace{(\frac 32)}_{x}+\phi)+3 = 3 \\ \, \\ \sin(\frac{3\pi}{4} + \phi) = 0 \\ \, \\ \frac{3\pi}{4}+\phi = \arcsin(0) \\ \, \\ \phi = -\frac{3\pi}{4}[/tex]

Nå har vi funnet alle de ukjente for funksjonsuttrykket og kan konkludere med at vi har:

[tex]f(x) = 2\sin\left(\frac \pi 2 x -\frac{3\pi}{4}\right) + 3[/tex]

[MatteNoob]

Tegn grafen til f på lommeregneren for x-verdier mellom 0 og 3[symbol:pi] og bestem:

1. Amplitude
2. Periode
3. Faseforskyvning
4. Likningen for likevektslinja

Jeg gjør denne heller gjennom observasjoner og matematisk mhp funksjonsuttrykket.

a)
[tex]f(x) = 2\sin x + 1[/tex]

[tex]\rm{A} = 2\\ \, \\ \rm{P} = 2\pi \\ \, \\ \rm{Faseforskyvning} = 0 \\ \, \\ y = 1[/tex]


b)
[tex]f(x) = -3\cos 0.8(x+1)[/tex]

[tex]|\rm{A}| = \rm{A} = 3\\ \, \\ \rm{P} = \frac{2\pi}{\frac 45} = \frac{5\pi}{2} \\ \, \\ \rm{Faseforskyvning} = 1 \text{ mot venstre}\\ \, \\ y = 0[/tex]


c)
[tex]f(x) = 0.5\sin(3x-\frac \pi 6) - 0.4[/tex]

[tex]\rm{A} = 0.5 = \frac 12 \\ \, \\ \rm{P} = \frac{2\pi}{3} \\ \, \\ \rm{Faseforskyvning} = (3x-\frac \pi 6) \Longrightarrow^{\text{ \\ Faktoriserer}} \,\,\,\,\,\, 3(x-\underbrace{\frac {\pi}{18}}_{\text{Forskyvning}}) \,\,\, = \frac{\pi}{18} \text{ mot hoyre} \\ \, \\ y = -0.4[/tex]


d)
[tex]f(x) = 1.7\cos(0.69x-0.23) + 1.3[/tex]

[tex]\rm{A} = 1.7 \\ \, \\ \rm{P} = \frac{2\pi}{0.69} \approx 9.11 \\ \, \\ \rm{Faseforskyvning} = \frac{\phi}{|c|} = \frac{-0.23}{0.69} = -\frac 13 = \frac 13 \text{ mot hoyre} \\ \, \\ y = 1.3[/tex]


e)
[tex]f(x) = -4.5\cos(2x+3) - 0.5[/tex]

[tex]|\rm{A}| = \rm{A} = 4.5 \\ \, \\ \rm{P} = \frac{2\pi}{2}= \pi \\ \, \\ \rm{Faseforskyvning} = \frac{\phi}{|c|} = \frac 32 = \frac 32 \text{ mot venstre} \\ \, \\ y = -0.5[/tex]

[MatteNoob]

Strømmen I i en strømkrets er gitt ved uttrykket

[tex]I(t) = 50\sin\left(100\pi \cdot t\right)[/tex]

t er tiden målt i sekunder, og målenheten for strøm er ampere. Tegn grafen på lommeregneren.

Bestem maksimal strøm og perioden på vekselstrømmen.

Av funksjonsuttrykket ser vi at amplituden er 50. Dersom vi setter tiden t=0, får vi:

[tex]50\sin(0) = 50\cdot 0 = \underline{0}[/tex]

Dermed kan vi konkludere med at likevektslinjen for funksjonen er 0, og dermed vil den høyeste verdien være 50 ampere.

Videre har vi at:

[tex]\rm{P} = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}\, \text{sekund}[/tex]

[MatteNoob]

Figuren viser grafen til en periodisk funksjon. Finn perioden.

Mål på figuren og finn et funksjonsuttrykk på formen: [tex]f(x) = A\cos(cx+\phi) + d[/tex] for funksjonen.

Tegn grafen du kommer frem til og tegn den på lommeregneren. Sammenlikn med figuren.

Perioden
Velger de to første bunnpunktene på grafen og "tenker oss" at vi forflytter hele grafen mot venstre (dette gjør regnestykket lettere), og vi får:

[tex]\rm{P} = \Delta x = x_2 - x_1 = 3.5-0.5 = \underline{3}[/tex]

Så da får vi:

[tex]\rm{c} = \frac{2\pi}{\Delta x} = \frac{2\pi}{x_2 - x_1} = \frac{2\pi}{3.5-0.5} = \frac 23\pi[/tex]

Amplituden
[tex]\rm{A} = \frac{f_{maks}-f_{min}}{2} = \frac{6.8-(-1.2)}{2} = \frac 82 = 4[/tex]

Likevektslinjen
[tex]\rm{d} = \frac{f_{maks}+f_{min}}{2} = \frac{6.8+(-1.2)}{2} = \frac{14}{5}[/tex]

Nå har vi:

[tex]f(x) = 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}x + \phi\right) + \frac{14}{5}[/tex]

Dette er en cosinusgraf - Til venstre for origo, finner krysser den likevektslinjen for [tex]x=-0.1 = -\frac{1}{10}[/tex] (Synkende, fordi det er en cosinusgraf).

[tex]\cos(\frac{2\pi}{3}\, \cdot \, (-\frac{1}{10}) + \phi) = 0 \\ \, \\ -\frac{2\pi}{30}+\phi = \arccos(0) \\ \, \\ \phi = \frac \pi 2 + \frac{2\pi}{30}\\ \, \\ \phi = \frac{15\pi + 2\pi}{30} = \underline{\frac{17\pi}{30}[/tex]

[tex]\underline{\underline{f(x) = 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}x +\frac{17\pi}{30}\right) + \frac{14}{5}}}[/tex]

EDIT:
Mer om Faseforskyvning her. :]

[MatteNoob]

Skriv funksjonsuttrykket til f på formen [tex]\rm{A}\sin(cx+\phi)+d[/tex] når:

a)
[tex]f(x) = 5\sin(2x) +\cos(2x)[/tex]

[tex]\rm{A} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt {26} \\ \, \\ \tan(\phi) = \frac 15 \\ \, \\ \phi = \arctan(\frac 15) \approx 0.2[/tex]

[tex]\underline{\underline{f(x) = \sqrt{26}\cdot \sin(2x + 0.2)}}[/tex]

b)
[tex]f(x) = \sin(\pi x) -\sqrt 8 \cos (\pi x)[/tex]

[tex]\rm{A} = \sqrt{(-\sqrt 8)^2 + 1^2} = \sqrt {9} = 3 \\ \, \\ \tan(\phi) = -\sqrt 8 \\ \, \\ \phi = \arctan(-\sqrt 8) \approx -1.231[/tex]

[tex]\underline{\underline{f(x) = 3\sin(\pi x -1.231)}}[/tex]

c)
[tex]f(x) = \cos(3x) -2\sin(3x)[/tex]

[tex]\rm{A} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt {5} \\ \, \\ \tan(\phi) = \frac{1}{-2} \\ \, \\ \phi = \arctan(-\frac 12) \approx -0.46 + \pi[/tex]

[tex]\underline{\underline{f(x) = \sqrt{5}\cdot \sin(3x +2.68)}}[/tex]

[MatteNoob]

Løs likningene

a)
[tex]\sin x + \cos x = 1 \\ \, \\ \sin\left(x + \arctan(1)\right) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \\ \, \\ \sin(x+\frac \pi 4) = \frac{1}{\sqrt 2} \\ \, \\ x+\frac \pi 4 = \arcsin(\frac{\sqrt 2}{2}) \\ \, \\ x = \left(\frac \pi 2 - \frac \pi 4\right) + 2\rm{k}\pi \;\;\vee\;\; x = \left(\pi +\frac \pi 2 - \frac \pi 4\right)+2\rm{k}\pi \\ \, \\ \underline{\underline{x=\frac \pi 4 + 2\rm{k}\pi \;\;\vee\;\; x=\frac{5\pi}{4} + 2\rm{k}\pi}} \;\;\;\; \rm{k} \, \in\, \mathbb{Z}[/tex]

b)
[tex]3\sin(2x) -4\cos(2x)=-2 \\ \, \\ \sin(2x+\arctan(-\frac 43)) = \frac{-2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \\ \, \\ \sin(2x-\arctan(\frac 43)) = \frac{-2}{\sqrt{25}} \\ \, \\ 2x-\arctan(\frac 43) = -\arcsin(\frac 25) \\ \, \\ 2x = \arctan(\frac 43) - \arcsin(\frac 25) + 2\rm{k}\pi \;\;\vee\;\; 2x = \arctan(\frac 43) +\left(\pi + \arcsin(\frac 25)\right) + 2\rm{k}\pi \\ \, \\ \underline{\underline{x \approx 0.26+\rm{k}\pi \;\;\vee\;\; x \approx 2.24+\rm{k}\pi}} \;\;\;\;\; \rm{k}\in\mathbb{Z}[/tex]

c)
[tex]2\sqrt 2\cos(\pi x)+\sin(\pi x) = 1 \\ \, \\ \sin\left(\pi x +\arctan\left(2\sqrt 2\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{\left(2\sqrt 2\right)^2 + 1^2}} \\ \, \\ \pi x +\arctan(2\sqrt 2) = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{9}}\right) \\ \, \\ \pi x = \arcsin(\frac 13) - \arctan(2\sqrt 2) + 2k\pi \;\;\vee\;\; \pi x = \left(\pi-\arcsin(\frac 13)-\arctan(2\sqrt 2)\right)+2k\pi \\ \, \\ x_1 \approx -0.2837+2k\;\;\vee\;\; x_2 = 0.5+2k[/tex]

x[sub]1[/sub] er ikke i første omløp. Vi legger derfor til 2 (pga 2k), slik at begge løsningene er i første omløp for k=0

[tex]\underline{\underline{x\approx 1.72+2k \;\;\vee\;\; x=0.5+2k}} \;\;\;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

d)
[tex]-24\sin(0.2x)+4=7\cos(0.2x) \\ \, \\ 4=7\cos(0.2x)+24\sin(0.2x) \\ \, \\ 24\sin(0.2x)+7\cos(0.2x) = 4 \\ \, \\ \sin(0.2x + \arctan(\frac{7}{24})) = \frac{4}{\sqrt{24^2+7^2}} \\ \, \\ 0.2x+\arctan(\frac{7}{24}) = \arcsin(\frac{4}{25}) \\ \, \\ 0.2x = \arcsin(\frac{4}{25})-\arctan(\frac{7}{24}) +2k\pi \;\;\vee\;\; 0.2x = \left(\pi-\arcsin(\frac{4}{25} - \arctan(\frac{7}{24})\right)+ 2k\pi \\ \, \\ x_1 \approx -0.6155 + 10k\pi \;\;\vee\;\; x_2 \approx 13.49 + 10k\pi [/tex]

x[sub]1[/sub] er ikke i samme omløp som x[sub]2[/sub]. Vi legger til 10[symbol:pi] i svaret for x[sub]1[/sub], og har dermed fått begge svarene i samme omløp.

[tex]\underline{\underline{x_1 \approx 30.80+10k\pi \;\;\vee\;\; x_2 \approx 13.49 +10k\pi}}\;\;\;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

[MatteNoob]

Finn ved regning topp- og bunnpunkter på grafen til f når:

Vi bruker ikke derivasjon i disse oppgavene. Vi skriver heller om funksjonen til en harmonisk svingning av sinus, deretter bruker vi at sinus er periodisk.

a)
[tex]f(x) = \sqrt 3\sin(2x)-\cos(2x)[/tex]

[tex]f(x) = \sqrt{(\sqrt 3)^2 + (-1)^2}\sin(2x+\arctan(-\frac{1}{\sqrt 3})) \\ \, \\ f(x) = 2\sin(2x-\frac{\pi}{6})[/tex]

Topp-punkter:
For y-koordinaten: [tex]\sin(2x-\frac \pi 6) = 1[/tex]

[tex]f(x) = 2\cdot 1 = 2[/tex]

For x-koordinatene:
[tex]\sin(2x-\frac \pi 6) = 1 \\ \, \\ 2x = \arcsin(1) + \frac \pi 6 \\ \, \\ x = \frac{\frac \pi 2 + \frac \pi 6 + 2\rm{k}\pi}{2} \\ \, \\ x = \frac \pi 3 + \rm{k}\pi \\ \, \\ \rm{P_{\text{toppunkter}}= \left(\frac \pi 3+k\pi,\, 2\right) \;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

Bunnpunkter:
For y-koordinaten: [tex]\sin(2x-\frac\pi 6) = -1[/tex]

[tex]f(x) = 2\cdot(-1) = -2[/tex]

For x-koordinatene:
[tex]2x-\frac \pi 6 = -\frac \pi 2 + 2k\pi \\ \, \\ x = \frac{\frac{\pi-3\pi}{6}+2k\pi}{2} \\ \, \\ x=-\frac{\pi}{6} + k\pi \\ \, \\ \rm{P_{\text{bunnpunkter}}= \left(-\frac \pi 6+k\pi,\, -2\right) \;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]
Eller:
[tex]\rm{P_{\text{bunnpunkter}}=\left(\frac{5\pi}{6}+k\pi,\, -2\right) \;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

b)
[tex]f(x)=\sin(\pi x)+3\cos(\pi x) \\ \, \\ f(x) = \sqrt{1^2+3^2}\sin(\pi x+\arctan(3)) \\ \, \\ f(x) = \sqrt{10}\sin\left(\pi x+\arctan(3)\right)[/tex]

Toppunkter:
For y: [tex]f(x) = \sqrt{10}\cdot 1 = \underline{\sqrt{10}}[/tex]

For x:
[tex]\pi x + \arctan(3) = \frac \pi 2 + 2k\pi \\ \, \\ x = \frac{\frac \pi 2 - \arctan(3) + 2k\pi}{\pi} \\ \, \\ x\approx \underline{ 0.10+2k}[/tex]

[tex]\rm{P_{\text{toppunkter}}=\left(0.10+2k,\, \sqrt{10}\right) \;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

Bunnpunkter:
For y: Likevektslinjen for denne funksjonen er x-aksen, derfor er y-koordinaten for bunnpunktene [tex]-\sqrt{10}[/tex]

For x:
[tex]x = \frac{-\frac \pi 2 - \arctan(3)+2k\pi}{\pi} \\ \, \\ x\approx -2.8198+2k[/tex]

Legger til k=1 for å få like løsninger for topp- og bunnpunkter gitt k=0. (Altså det førtste topp- og bunnpunktet etter origo ved k=0)

[tex]x\approx 1.10+2k[/tex]

[tex]\rm{P}_{\text{bunnpunkter}}=\left(1.10+2k,\, -\sqrt{10}\right)\;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

c)
[tex]f(x) = -2\sin(\frac x3)-\cos(\frac x3) \\ \, \\ f(x) = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2}\sin\left(\frac x3 + \arctan(\frac{-1}{-2})\right) \\ \, \\ f(x) = \sqrt{5}\sin\left(\frac x3 + \arctan(\frac 12)\right)[/tex]

Toppunkter:
For y:
[tex]f(x) = \sqrt 5 \cdot 1 = \sqrt 5[/tex]

For x:
[tex]x = 3\cdot\left(\frac \pi 2 - \arctan(\frac 12) + 2k\pi\right) \\ \, \\ x\approx 3.32+6k\pi[/tex]

[tex]\rm{P}_{\text{toppunkter}} = \left(3.32+6k\pi, \, \sqrt 5\right) \;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

Bunnpunkter:
For y: [tex]-\sqrt 5[/tex]

For x:
[tex]x=3\cdot \left(-\frac \pi 2 - \arctan(\frac 12)+2k\pi\right) \\ \, \\ x\approx -6.10 + 6k\pi[/tex]

Legger til 6[symbol:pi] for å få første løsning etter origo for k=0

[tex]\rm{P}_{\text{bunnpunkter}} = \left(12.75+6k\pi,\, -\sqrt 5\right) \;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

d)
[tex]f(x) = \cos(\frac{\pi x}{4})-2\sin(\frac{\pi x}{4}) \\ \, \\ f(x) = \sqrt{(-2)^2 + 1^2}\sin\left(\frac{\pi x}{4}+\arctan(\frac{1}{-2})\right) \\ \, \\ f(x) = \sqrt 5\sin\left(\frac{\pi x}{4}-\arctan(\frac 12)\right)[/tex]

Toppunkter:
[tex]x = \frac{4\cdot \left(\frac \pi 2 + \arctan(\frac 12) + 2k\pi\right)}{\pi} \\ \, \\ x \approx 2.59 + 8k[/tex]

[tex]\rm{P}_{\text{toppunkter}}=\left(2.59+8k, \, \sqrt 5\right)\;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

Bunnpunkter:
[tex]x = \frac{4\cdot \left(\arctan(\frac 12)-\frac \pi 2 + 2k\pi\right)}{\pi} + 8 \\ \, \\ x\approx 0.59 + 8k [/tex]

[tex]\rm{P}_{\text{bunnpunkter}}=\left(6.59+8k, \, -\sqrt 5\right)\;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]

[MatteNoob]

Et sted varierer gjennomsnittlig uketemperatur tilnærmet etter modellen:

[tex]T(t) = 0.6\sin(0.12t)-4.6\cos(0.12t)+12.2[/tex]

[tex]T(t) \textdegree \rm{C}[/tex] er temperaturen [tex]t[/tex] uker etter nyttår.

a) Hvilken gjennomsnittlig temperatur gir modellen for uke 24?

b) For hvilke uker gir modellen en gjennomsnittstemperatur på [tex]10^{\circ}\rm{C}[/tex]?

c) For hvilken uke gir modellen høyest gjennomsnittstemperatur?

Da har vi at:
[tex]T(t) = 0.6\sin(0.12t)-4.6\cos(0.12t)+12.2 \;\;\; t\in\left[0,\, 52\right][/tex]

Skriver om funksjonen til en sinusfunksjon:
[tex]T(t) = \sqrt{(0.6)^2 + (-4.6)^2}\sin(0.12t+\arctan(\frac{-4.6}{0.6}))[/tex]

Gir tilnærmet:
[tex]T(t) = 4.64\sin(0.12t-1.44)+12.2[/tex]

a)
[tex]T(24) = 4.64\sin(0.12\cdot(24)-1.44)+12.2 \approx \underline{\underline{16.8^{\circ}\rm{C}}}[/tex]

b)
[tex]T(t) = 10\\ \, \\ 4.64\sin(0.12t-1.44)+12.2=10 \\ \, \\ t = \frac{\arcsin\left(\frac{10-12.2}{4.64}\right) + 1.44+2k\pi}{0.12} \\ \, \\ t = \frac{1.44 - \arcsin\left(\frac{2.2}{4.64}\right)+2k\pi}{0.12}\;\;\;\vee\;\;\; t = \frac{1.44+\left(\pi+\arcsin\left(\frac{2.2}{4.64}\right)\right)+2k\pi}{0.12} \\ \, \\ t \approx 7.88 + 16.67k\pi \;\;\;\vee\;\;\; t\approx 42.29+16.67k\pi \;\;\; k\in \mathbb{Z} [/tex]

Vi får kun to løsninger i intervallet [tex]t\in\left[0,\, 52\right][/tex] for [tex]k=0[/tex].

[tex]\underline{\underline{\text{Uke 7 og 42}}}[/tex]

c)
[tex]f(x) = 4.64 \cdot(1) + 12.2 = \underline{16.84^{\circ}\rm{C}}[/tex] Dette skjer når:

[tex]\sin\left(0.12t-1.44\right) = 1 \\ \, \\ t = \frac{\frac \pi 2 + 1.44 + 2k\pi}{0.12} \\ \, \\ t\approx 25.09+16.67k\pi \;\;\; k\in \mathbb{Z}[/tex]

I intervallet finner vi bare ei uke som passer med disse opplysningene.

[tex]\underline{\underline{\text{I uke nummer 25}}}[/tex]

[MatteNoob]

Et døgn varierer vannstanden i en havn etter formelen:

[tex]y=0.7\sin(0.5t-1.1)+8.3[/tex]

t timer etter midnatt er vanndybden y meter. Finn svarene ved regning.

a) Hva er vanndybden klokken 05:30 ?

b) Når er vanndybden 8.0 meter?

c) Hva er den minste vanndybden dette døgnet?

d) Finn tidspunktet for den laveste vannstanden.

e) Når er vanndybden størst?

f) Hva forteller likevekstlinja?

Denne modellen gjelder for et døgn, dermed har vi:

[tex]y=0.7\sin(0.5t-1.1)+8.3 \;\;\;\; t\in\left[0,\, 24\right\rangle[/tex]

a)
[tex]t = 5 + \frac{30}{60} = \underline{5.5}[/tex]

[tex]y(5.5) = 0.7\sin(0.5\cdot (5.5)-1.1)+8.3 \\ \, \\ y(5.5) = 0.7\sin(1.65)+8.3 \\ \, \\ y(5.5) \approx \underline{\underline{9\, \text{meter}}}[/tex]

b)
[tex]y(t) = 8 \\ \, \\ 0.7\sin(0.5t-1.1)+8.3=8 \\ \, \\ t = \frac{\arcsin\left(\frac{8-8.3}{0.7}\right)+1.1+2k\pi}{0.5} \\ \, \\ t=\frac{1.1-\arcsin\left(\frac{0.3}{0.7}\right)+2k\pi}{0.5} \;\;\vee\;\; t=\frac{1.1+\left(\pi + \arcsin\left(\frac{0.3}{0.7}\right)\right)+2k\pi}{0.5}\\ \, \\ \, \\ \, \\ t \approx 1.34+4k\pi \;\;\vee\;\; t = 9.37+4k\pi[/tex]

Vi finner:

[tex]t=\{1.34,\, 9.37,\, 13.91,\, 21.94\}[/tex]

Vi gjør om dette til klokkeslett og finner:
[tex]\underline{\underline{\text{Klokken: 01:20, 09:22, 13:55 og 21:56}}}[/tex]

c)
Den minste vanndybden finner vi når [tex]\sin(0.5t-1.1) = -1[/tex]

[tex]y(t) = 0.7\cdot(-1)+8.3 = 8.3-0.7 = \underline{\underline{7.6\text{ meter}}}[/tex]

d)
[tex]y(t) = 7.6 \\ \, \\ 0.5t - 1.1 = -\frac \pi 2 + 2k\pi \\ \, \\ t = \frac{-\frac \pi 2+1.1+2k\pi}{0.5} \\ \, \\ t \approx = -0.94+4k\pi[/tex]

For k=0 får vi en negativ verdi for t. Dette er selvfølgelig ikke mulig, siden vi er ute etter timer, og der finnes slettes ikkje negative timar!!! Vi legger derfor til 4[symbol:pi]

[tex]t\approx 11.62+4k\pi[/tex]

For tidsintervallet [tex]t\in\left[0,\, 24\right\rangle[/tex] finner vi kun ett tidspunkt hvor vannstanden er på det laveste.

[tex]\underline{\underline{\text{Klokken 11:37}}}[/tex]

e)
[tex]0.5t-1.11 = \frac \pi 2 + 2k\pi \\ \, \\ t = \frac{\frac \pi 2 +1.1+2k\pi}{0.5} \\ \, \\ t \approx 5.34+4k\pi[/tex]

[tex]t = \{5.34, \, 17.90\}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Klokken: 05:20 og 17:54}}}[/tex]

f)
Likevektslinjen forteller hva gjennomsnittsdybden for det gitte døgnet er.