Sum av kvadrater

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Mayhassen
Brahmagupta
Brahmagupta
Innlegg: 374
Registrert: 30/03-2006 18:55
Sted: Brumunddal

daofeishi skrev:Sum av kvadrater: Bevis at [tex]1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Ser det stemmer for n=1, antar at det stemmer for n=k,prøver da med n=k+1:

[tex]1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac 16(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2=\frac 16 (2k^3+9k^2+13k+6)[/tex]

Dette skal bli lik høyre side av påstanden når vi her også setter n=k+1:

[tex]\frac{(k+1)*((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}=\frac 16 ((k+1)(k+2)(2k+3))=\frac 16 (2k^3+9k^2+13k+6)[/tex]

Ser at venstre side er lik høyre side og vi er ferdig. Jeg bare ganget ut og trakk sammen, man kan jo selfølgelig faktorisere og ordne slik at det ser mye penere ut, men resultatet skulle være oppnådd :)
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Jada, tror jeg ville foretrukket å faktorisere etter andre likhetstegn, men induksjonsprinsippet er brukt på rett måte, det :)
Mayhassen
Brahmagupta
Brahmagupta
Innlegg: 374
Registrert: 30/03-2006 18:55
Sted: Brumunddal

Ja, kan tenke meg det gjorde vondt i dine øyne å se noe så ufaktorisert og stygt :wink:
Svar