Fraktalareal

[daofeishi]

Et såkalt Koch-snøflak konstrueres på følgende måte:



1) Begynn med en likesidet trekant
2) Ta for deg hver side i figuren du har foran deg, og del dem inn i tre deler av lik lengde. For hver side, bygg på en likesidet trekant over midterste del, og fjern grunnlinjen
3) Gå tilbake til steg 2

... Slik fortsetter altså prosessen i det uendelige

Spørsmålet er så:
Hvis trekanten du begynner med har sidelengde 1 - hva er arealet av Koch-snøflaket?

[bartleif]

Dette blir jo en god del formlike trekanter proposjonell med første trekanten:

Funksjonen av arealet til de reduserende størrelsene i Koch-snøflaket er gitt ved:
[tex]A_{(x)}=1.25\cdot (\frac{1}{3})^x[/tex]

Og arealet av Kochsnøflaket er summen av disse når x-verdien er så høy at man trygt kan si arealene av de etterkommende trekanter er tilnærmet evig små.

Når x=200 er arealet av trekanten [tex](4.70607744\cdot 10^{-97})[/tex]
[tex]A_{(Koch)}=\sum_{x\rightarrow 200}A_0+A_1+A_2+A_3....A_{199}+A_{200}[/tex] hvor A_0 er arealet av første trekanten.

Kan jeg integrere funksjonen for å finne arealet? Jeg har ihvertfall kommet frem til:

[tex]\int_0^{200}A_{(x)}=1.3779903[/tex] og skal vel i hvertfall nærme seg arealet. Håper på det beste jeg hvertfall.

Sluttet å håpe, skjønte fort at dette må være feil. Prøver igjen....

[Janhaa]

Dette blir jo en god del formlike trekanter proposjonell med første trekanten:
Funksjonen av arealet til de reduserende størrelsene i Koch-snøflaket er gitt ved:
[tex]A_{(x)}=1.25\cdot (\frac{1}{3})^x[/tex]
[tex]\int_0^{200}A_{(x)}=1.3779903[/tex] og skal vel i hvertfall nærme seg arealet. Håper på det beste jeg hvertfall.
Sluttet å håpe, skjønte fort at dette må være feil. Prøver igjen....

Arealet av ei likesida trekant med s=1 er[tex]\,\,\text A(trekant)=\frac{\sqrt3}{4}[/tex]
slik at A(Koch snowflake) er litt større. Mest sannsynlig

[tex]\text A(trekant)\,<\,A(Koch snowflake)\,<\,1[/tex]

jeg har ikke prøvd ennå...

[bartleif]

Der var vi igjen, har plassert tungen litt rettere i munnen nå og prøver igjen.

Arealet av 1.trekanten er [tex]\frac{sqrt{3}}{2}[/tex], setter det til [tex]A_0[/tex]

Arealet av Koch-flaket er gitt av denne litt alternative funksjonen:
Hvor A_0 ikke er med annet som en konstant. Arealet kan ikke regnes ut ved hjelp av denne funksjonen.

[tex]A_{(x)}=A_0\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x(3*2^{x-1})[/tex]

Integrerer denne fra x=1 til x=200 som isted og finner:

[tex]\left(\int_1^{200}A_{(x)}\right)+A_0=2.1358815+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 3[/tex]

[Knuta]

Det jeg kom fram til er [tex] \frac{\sqrt{3}}{4}+\ \ \sum_{n=1}^{\text{tilta 8}}\ \ \frac{\sqrt{3} \cdot 3 \cdot(\frac{4}{9})^2}{16} [/tex]

noe som burde være [tex]\frac{\sqrt{3}\cdot 2}{5}[/tex]

[daofeishi]

Stemmer. Før gjerne opp utledninga di óg.

Bartleif, noe som kan hjelpe deg godt på vei er kunnskap om geometriske rekker

[magneam]

Nå har vi arealet av Kochs snøflak. Men hva er omkretsen?

[Janhaa]

Nå har vi arealet av Kochs snøflak. Men hva er omkretsen?

uendelig...

[bartleif]

Damn, har ikke engang skjønt hvor dere fikk[tex] \frac{\sqrt{3}}{4}[/tex] fra eg Tydeligvis litt for ivrig til å lage funksjonen, klarte ikke engang regne ut arealet av trekanten før nå

Men nå kan eg komme fram til et tilnærmet svar:

[tex](\frac{\sqrt{3}}{4})(\frac{1}{3}-1)^{-1}=.6495[/tex]

Takk for tipset Daofeishi Har lest om de litt tidligere, og skjønte ikke før du sa det at det var en sånn jeg holdt på med Over står hvertfall det beste eg klarer nå. Var nå gøy å prøve, til tross for endel feiling

[Knuta]

Jeg ser at at på en eller annen mystisk måte har det sneket seg inn et to tall i stedet for n Riktig skal være

[tex] \frac{\sqrt{3}}{4}+\ \ \sum_{n=1}^{\text{tilta 8}}\ \ \frac{\sqrt{3} \cdot 3 \cdot(\frac{4}{9})^n}{16} [/tex]

Hva er forresten texkoden for uendelig? Jeg husker den aldri.

Vel. Siden du etterlyser utledningen så kom jeg fram til at arealet er en trekant [symbol:rot] 3/4

Deretter kommer rekken. den starter med 3 trekanter som er 1/9 av den opprinnelige. neste er 3*4 med en niendedel av dem igjen. antallet øker javnt med 4 gangeren samt en nienedel av arealet.

En kul oppgave forresten. Har alltid lurt på arealet, men har aldri giddi å regna det ut. Men nå fikk jeg anledningen.

[Emilga]

Code: Select all

\infty

[tex]\infty[/tex] [tex]\sum_{n=1}^{\infty}[/tex] (nesten som infinity, bare litt kortere.)