Privatisteksamen V08 Oppgave 3 wrote:I en brukerundersøkelse på en større videregående skole spurte man 120 tilfeldig valgte elever om de trivdes svært godt på skolen. Det var 73 elever som svarte ja til dette.
a) Finn et estimat for andelen elever på skolen som trivdes svært bra. Regn ut standardfeilen.
b) Lag et 95% konfidensintervall for den andelen som likte seg svært godt på skolen.
c) Rektor sier til lokalavisen: "Hos oss trives 60% av elevene svært godt". Drøft denne påstanden i lys av de beregningene du har gjort.
På en annen skole hadde de foretatt en lignende undersøkelse. De hadde funnet at et 95% konfidensintervall for andelen som trivdes svært godt var [tex]\langle 0.315,\, 0.369\rangle[/tex].
d) Finn estimatet og standardfeilen for denne undersøkelsen.
e) Hvor mange elever var blitt spurt i denne undersøkelsen?
a)
[tex]\hat p = \frac{73}{120} = 0.608\overline 3 \approx \underline{\underline{60.8\percent}}[/tex]
[tex]S_{\hat p} = \sqrt{\frac{0.6083 \cdot (1-0.6083)}{120}} = 0.04456 \approx \underline{\underline{4.5\percent}}[/tex]
b)
Et 95% konfidensintervall, er gitt ved:
[tex]\langle \hat p \pm Y \cdot S_{\hat p}\rangle[/tex]
Vi finner Y ved:
[tex]\Phi(Y) = \Phi\left(\frac{0.95 + 1}{2}\right) = \Phi(0.975) \,\,\, \Longrightarrow^{\text{Leser av tabell\\ "motsatt av normalt"}} \,\,\, \underline{1.96}[/tex] (Takk, Janhaa :])
[tex]\langle 0.6083 \mp 1.96 \cdot 0.04456\rangle \\ \, \\ \Updownarrow \text{ rundet av til fjerde desimal} \\ \, \\ \langle 0.5209,\, 0.6956\rangle[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Et 95\percent konfidensintervall, er derfor gitt ved \langle 52.1\percent, 69.6\percent\rangle}}}[/tex]
c)
Jfr beregningene i a og b, ser vi at usikkerheten er svært stor. Konfidensintervallet har nemlig en differanse på omlag 17,47%. Middelverdien for konfidensintervallet [tex]\hat p[/tex] ligger på ca 60.8% så en mer korrekt påstand fra rektor ville vært:
[tex]\underline{\underline{"Vi\, har\, grunn\, til\, \aa\, tro\, at\, cirka \, 52-70\percent\, av\, v\aa re\, elever\, trives sv\ae rt\,\, godt"}}[/tex]
d)
[tex]\hat p = \frac{0.315 + 0.369}{2} = 0.342 = \underline{\underline{34.2\percent}}[/tex]
[tex]0.342 + 1.96 \cdot S_{\hat p} = 0.369 \\ \, \\ 1.96S_{\hat p} = 0.027 \\ \, \\ S_{\hat p} = \frac{0.027}{1.965} \\ \, \\ S_{\hat p} \approx 0.01374 \approx \underline{\underline{1.4\percent}}[/tex]
e)
[tex]0.01374 = \sqrt{\frac{0.342\cdot(1-0.342)}{n}} \\ \, \\ 0.01374^2 = \frac{0.225036}{n} \\ \, \\ 0.01374^2n = 0.225036 \\ \, \\ n = \frac{0.225036}{0.01374^2} \\ \, \\ n \approx \underline{1192}[/tex]
[tex]\underline{\underline{I\, denne\, undersokelsen, \, ble\, ca\, 1192\, elever\, spurt.}}[/tex]
Bare for gøy)
[tex]0.342 = \frac{X}{1192} \\ \, \\ X \approx \underline{407}[/tex]
[tex]\underline{\underline{Ca\, 407\, elever\, sa\, at\, de\, likte\, seg\, sv\ae rt\, godt.}}[/tex]
