Derivasjon og likhet

[riegsa]

Hei,

Sliter....

For jeg har f(t) = 1500/1+11,5e[sup]-0,2t[/sup].

Jeg skal vise at likheten f'(t) = 0,2f(t)(1- (f(t)/1500)) gjelder for alle t.

Prøver derfor å derivere f(t) på "min" måte først, og får f'(t) = -1500e[sup]-0,2t[/sup]/1+11,5e[sup]-0,2t[/sup]. Er det riktig?

Jeg skal liksom vise at f'(t) som jeg kommer fram til og f'(t) som nevnt over er det samme. Problemet er hvordan den utrekninga skal foregå..? Sliter med å rydde opp i utrykkene...

Håper på hjelp!

[Andrina]

f'(t) er nok ikke helt riktig, husk kjerneregelen:

f'(t)=(-1500/(1+11,5*e^(-0,2t))^2)*(-0,2*11,5)*e^(-0,2t)

=3450*e^(-0,2t)/(1+11,5*e^(-0,2t))^2

Nå regner du ut høyresiden ved å sette inn uttrykket for f(t) og forenkle litt, og så skal du få likheten.

[riegsa]

Takk,

Det var oppklarende!

Men, da har jeg forsøkt meg på utrykket;

f'(t) = 0,2*f(t)(1- (f(t)/500)

hvor f(t) er 1500/1 + 11,5e[sup]-0,2t[/sup]

Dette skal jo være det samme som f'(t) = 3450e[sup]-0,2t[/sup]/(1 + 11,5e[sup]-0,2t[/sup])[sup]2[/sup]

Hvordan går jeg fram for å få "ryddet" dette øverste utrykket til å bli likt det nederste?

[Andrina]

Sett inn f(t) og forenkle:
For eksempel er f(t)/1500=1/(1+11,5e^(-0,2t)), og 1-(f(t)/15000) blir dermed

1-(1/(1+11,5e^(-0,2t)))=(1+11,5e^(-0,2t)-1)/(1+11,5e^(-0,2t))

=11,5e^(-0,2t)/(1+11,5e^(-0,2t))