Delelighet

[mariush]

Noen som kan hjelpe meg å vise at [tex]6*(2^{n}) + 9^{n}[/tex] er delelig med 7 for alle [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

Dette haster over hodet ikke, og hvis det krever mye arbeid så må du gjerne prioritere noe annet!

Det er egentlig et spørsmål til oppgave 1.2.7 i kalkulus, men jeg fant en annen lurere måte å løse den på.

Edit: Dette er ikke selve oppgave 1.2.7, men det jeg ble sittende igjen med som jeg måtte vise, etter at jeg hadde puslet med oppgaven en stund.



Edit 2: Som et resultat av kjedsomhet legger jeg ut det jeg kom fram til, så kan de som vil fortelle om jeg har gjort det riktig:

Jeg skal altså bevise at [tex] 2^{n+2} +3^{2n +1} [/tex] er delelig med 7 for alle naturlige tall n.

Innfører Pk: [tex] 2^{k+2} +3^{2k +1} [/tex] er delelig med 7

Pk+1: [tex] 2^{k+3} +3^{2k +3} [/tex] = [tex] 2*(2^{k+2}) +3^2*(3^{2k +1}) [/tex]

=[tex] 2*(2^{k+2}) + 2*(3^{2k +1}) +7(3^{2k +1}) [/tex]

=[tex] 2* \left ((2^{k+2}) +(3^{2k +1})\right ) +7(3^{2k +1}) [/tex]

Det står altså 2*Pk [tex]+ 7*(3^{2k+1})[/tex], som nødvendigvis er delelig med 7 dersom Pn er delelig med 7.


Er ganske uerfaren når det gjelder bevis, og især induksjon, så dere får bare bære over med meg.

[Karl_Erik]

Prøv deg med litt regning modulo 7. Hva er 9 kongruent med mod 7?

[mariush]

Prøv deg med litt regning modulo 7. Hva er 9 kongruent med mod 7?

Hm.. 9 [symbol:identisk] 2 mod 7.

Er usikker på hvordan jeg kan gjøre dette modulært;

6*(2^n) + 9^n [symbol:identisk] 6*(2^n) + 2^n [symbol:identisk] 7*(2^n) mod 7 , men er det strengt tatt lovlig?

Edit: Konsekvent med variablene...

[Karl_Erik]

Du vet at 9^n [symbol:identisk] 2^n mod 7. Og at 6 * (2^n) [symbol:identisk] 6* (2^n) mod 7. Da burde 6* (2^n) + 9^n [symbol:identisk] 6*(2^n) + 2^n mod 7 , sant?

[mrcreosote]

Du har stilt opp alle dominobrikkene i induksjonsbeviset ditt, men glemt å puffe på den første. Ser helt fint ut ellers.

Textips: Prøv \cdot.

[mariush]

Ja, se der.

For ordens skyld:
[tex]2^{n+2} +3^{2n+1} [/tex] skal vere delelig med 7.
Tester for n=1
[tex]2^{1+2} +3^{2\cdot1+1}[/tex] = [tex]2^3 +3^3 = 35 = 5\cdot7[/tex], som opplagt er delelig med 7.


Takk for tipset med \cdot


Karl_Erik: Takk skal du ha.