Sammensatte funksjoner

[Wentworth]

Helt enig! Neste oppgave b er definisjonen av oppgave a da?

[Vektormannen]

Slik jeg tolker b) skal du vel uttrykke funksjonsuttrykket til f ved hjelp av funksjonsuttrykkene til g og u. Benytt såkalt substitusjon, der du bytter ut g(u(x)) med g(funksjonsuttrykket til u), og så det samme med g. Kanskje litt dårlig forklart. Men hva får du som funksjonsuttrykket til f da?

Forresten, hva kom du frem til i a)?

[Wentworth]

I oppgave a kom jeg fram til at :

Dette[tex]f^\prime(x)=g^\prime(u(x))[/tex],det samme som
[tex] f^\prime(x)=((u(x))^2)^\prime[/tex] Altså [tex]2(u(x))^\prime[/tex] som blir [tex]2\sqrt{x}[/tex]

Og [tex]u^\prime(x)[/tex]samme som og som blir i oppgavesvaret [tex](u(x))^\prime[/tex]der [tex]u(x)[/tex] er[tex]\sqrt{x}[/tex] og som følgelig blir [tex](\sqrt{x})^\prime[/tex]

Altså :

[tex]f`(x)= g`(u(x))*u`(x)[/tex]
[tex]f`(x)=2\sqrt{x}*(sqrt{x})`[/tex]

[Vektormannen]

Du er jo ikke ferdig, du har jo ikke derivert [tex]\sqrt x[/tex]?

[Wentworth]

Den skal ikke deriveres . Fordi [tex]u^\prime(x)[/tex] er det samme som [tex](u(x))^\prime[/tex] som er [tex](\sqrt{x})^\prime[/tex]

[Vektormannen]

Nå har jeg riktignok ikke hatt om dette enda, men skal det ikke deriveres altså?

Jeg så for meg noe sånt som:

[tex]f^\prime(x) = 2\sqrt x \cdot (\sqrt x)^\prime = 2\sqrt x \cdot \frac 1 {2\sqrt x} = \frac {2\sqrt x}{2\sqrt x} = 1[/tex]

[Wentworth]

Nei, for oppgaven har latt [tex]u(x)[/tex] være [tex]\sqrt{x}[/tex]dermed skal vi bare finne de deriverte kjerneregelvis slik for [tex]f^\prime{x}[/tex]

[tex]f^\prime{x}=g^\prime(u(x))\cdot u^\prime(x)[/tex]

er

[tex]f^\prime{x}=(u(x))^2 \cdot (u(x))^\prime[/tex]

[Vektormannen]

Synes det virker rart da du i b) skal vise at f(x) = x og så derivere den (som jo blir 1!)

[Wentworth]

Nei,skal bevise det....

[Vektormannen]

Det er da ikke blandet inn noen tall her? ...

Bare i tilfelle du ikke er klar over det, den deriverte av [tex]\sqrt x[/tex] er ikke bare [tex](\sqrt x)^\prime[/tex]:

[tex](\sqrt x)^\prime = (x^{\frac 1 2})^\prime = \frac 1 2 \cdot x^{\frac 1 2 - 1} = \frac 1 2 \cdot \frac 1 {x^{\frac 1 2}} = \frac 1 2 \cdot \frac 1 {\sqrt x} = \frac 1 {2\sqrt x}[/tex]

Det var bare denne omformingen jeg gjorde ovenfor.

[Wentworth]

skrotpost...

[Vektormannen]

Derivasjonsregelen for potenser:

[tex](a^b)^\prime = b\cdot a^{b-1}[/tex]

[tex](x^{\frac 1 2})^\prime = \frac 1 2 \cdot x^{\frac 1 2 - 1} = \frac 1 2 \cdot x^{-\frac 1 2}[/tex]

[Wentworth]

Da er [tex]x^{\frac 1 2-1}[/tex]som [tex]\frac 1{x^{\frac 1 2}}[/tex]

[Vektormannen]

Hvis det var potenser du prøvde å skrive der, så ja, det stemmer.

[Wentworth]

skrotpost...