Vis at
[tex]\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]
Rot
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Blir vel ikke et helt komplett svar det her, men så er det tross alt søndag i dag.
[tex]a_1 = \sqrt{x}[/tex]
[tex]a_2 = \sqrt{x - \sqrt{x}}[/tex]
...
[tex]a_n = \sqrt{x - a_{n-1}}[/tex]
Anta at [tex]{a_n}[/tex] konvergerer. Da må
[tex]a = \sqrt{x - a}[/tex]
[tex]a^2 = x - a[/tex]
[tex]a^2 + a - x = 0[/tex]
[tex]a = \frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]
Så kan de som vil fylle ut.
[tex]a_1 = \sqrt{x}[/tex]
[tex]a_2 = \sqrt{x - \sqrt{x}}[/tex]
...
[tex]a_n = \sqrt{x - a_{n-1}}[/tex]
Anta at [tex]{a_n}[/tex] konvergerer. Da må
[tex]a = \sqrt{x - a}[/tex]
[tex]a^2 = x - a[/tex]
[tex]a^2 + a - x = 0[/tex]
[tex]a = \frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}[/tex]
Så kan de som vil fylle ut.
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]
Da skulle det ikke by på noen problem å vise at
[tex]\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}+1}{2}[/tex]
og at
[tex]\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}-1}{2}[/tex]
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}[/tex] bød ikke på noen spesielle problemer. Men den som er værre:
[tex]\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\sqrt{16+...}}}}}[/tex]
[tex]\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}+1}{2}[/tex]
og at
[tex]\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x-...}}}}}=\frac{\sqrt{4x-3}-1}{2}[/tex]
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}[/tex] bød ikke på noen spesielle problemer. Men den som er værre:
[tex]\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\sqrt{16+...}}}}}[/tex]
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Som sagt, de 2 første der har periodiske koeffisienter og er ikke så vanskelig.
Jeg vil gjerne se et bevis på 1234..., og så skal jeg se på den neste.
Jeg vil gjerne se et bevis på 1234..., og så skal jeg se på den neste.
Denne løsningen har en bismak av "juks," men skit la gå.mrcreosote skrev:Så lenge koeffisientene gjentar seg periodisk funker teknikken til Eirik. En del vanskeligere er derfor denne:
[tex]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}[/tex]
Jeg undersøkte ved hjelp av "ulovlige" hjelpemidler hva det ser ut som grenseverdien går mot - 3. Deretter er det ikke alt for vanskelig å vise at dette faktisk er tilfelle.
[tex]3 = \sqrt{9} = \sqrt{1+2\sqrt{16}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{36}}}} = ...[/tex]
En prosess som kan fortsette indefinitt, siden [tex]n^2 = 1+ (n-1)\sqrt{(n+1)^2}[/tex]