Uegentlig integral, konvergering

[Olorin]

NB. Denne har sånn passe vanskelighetsgrad, men kan være en utfordring for flittige VGS-elever eller de som nettopp har startet på universitetet.


Gitt det uegentlige integralet: [tex]\int_0^\infty xe^{ax}\rm{dx}[/tex]

For hvilke verdier av konstanten a konvergerer integralet? Og hva er da integralets verdi uttrykt ved a?

[Charlatan]

Hm, jeg er ikke helt sikker på dette her altså.

Vi observerer først at [tex]a \ < \ 0[/tex], fordi [tex]a[/tex] over [tex]0[/tex], og [tex]a[/tex] lik [tex]0[/tex] vil gjøre at integralet divergerer. (én eller to positive faktorer som gjør at grafen stiger grenseløst)

Vi integrerer:

[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}]^{\infty}_0-\frac{1}{a}\int^{\infty}_0e^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax}]^{\infty}_0 = \lim_{x \to \infty }(\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax})+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex]

Ok, la oss nå se på [tex]\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex], vi vet at a er negativ, så la [tex]a=-|a|[/tex]
Det gir oss grenseverdien
[tex]\lim_{x \to \infty}e^{-|a|x}(-|a|x-1) = \lim_{x \to \infty}-\frac{|a|x}{e^{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = \lim_{x \to \infty}-\frac{1}{\frac{e^{|a|x}}{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}e^{|a|x}}{\lim_{x \to \infty}|a|x}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) [/tex]

(l'hôpitals regel)

[tex]= -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}|a|e^{|a|x}}{|a|}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) \\ = -\lim_{x \to \infty}-2e^{-|a|x}=0[/tex]

Derfor blir
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1) = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2} \cdot 0=\frac{1}{a^2}[/tex]
Jeg håper det er riktig!

Svaret vil da være:

[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx[/tex] vil konvergere dersom [tex]a \ < \ 0[/tex] og verdien vil bli [tex]\frac{1}{a^2}[/tex]

[ingentingg]

Ekstra spørsmål:

Hva skjer viss du lar: [tex]x^ne^{ax}[/tex], stå inni integraltegnet?

[Olorin]

Helt korrekt Jarle bra!!

[Charlatan]

Det er riktig at man kan bruke lhopitals regel når både telleren og nevneren går mot uendelig, ikke sant?

[Olorin]

Jepp.. Uendelig/Uendelig eller 0/0

[Charlatan]

Jeg har laget et svar på ingentingg sitt spørsmål, jeg lagret det som en pdf-fil. Det ble for uoversiktelig på forumet.

Legger til linken her:


http://www.freewebs.com/jarle10/Filer/U ... tegral.pdf

[Olorin]

Pent.. hvilket program bruker du?

[Charlatan]

Texmacs
gratis

[=)]

http://www.texmacs.org/

hvis du er interessert

[Olorin]

Takk for info. har prøvd diverse andre TeX programmer uten særlig hell..

[mrcreosote]

Bra jobba, Jarle! (Likte spesielt [tex]n\not<0[/tex].)

En alternativ måte å utlede formelen på er å lage en rekursjon: La [tex]I_n = \int_0^\infty x^ne^{-ax}dx[/tex] der a>0 og så bruke delvis integrasjon til å lage en rekursjonsligning.

Hvis vi velger a=1 får vi for øvrig gammafunksjonen.

[ingentingg]

Vær litt forsiktig med n<0. Hva skjer viss:

[tex]n = -\frac12 \\ a = -1[/tex]

Med rett substitusjon vil dette gi et kjent integral.

[Charlatan]

Det forandrer ikke at funksjonen er diskontuerlig i punktet x=0

[ingentingg]

Nei, men man kan integrere en funksjon som er diskontinuerlig.
Ta integralet fra c til R, og ta grensen når c->0+ og R->uendelig