Tallteori: Delelig med 4

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Ice
Cayley
Cayley
Innlegg: 79
Registrert: 13/01-2006 23:34
Sted: Trøndelag

daofeishi skrev:
Delelig med 4: Bevis at [tex]f(n) = 3^{n} - (-1)^n[/tex] er delelig med 4 for alle naturlige n
Ser at det er sant for [tex] n=1[/tex]

Antar at [tex]3^{n} - (-1)^n = 4k[/tex]

Vi må nå vise at dette gjelder for alle tall; n+1

[tex] f(n+1)=3^{n+1} - (-1)^{n+1}= 3\cdot3^{n}-((-1)^{1}(-1)^{n})[/tex]
[tex] = 3\cdot3^{n}+(-1)^{n}= 3\cdot3^{n}+4(-1)^{n}-3(-1)^{n}[/tex]
[tex]= 3(3^{n}-(-1)^{n})+4(-1)^{n} = 3(4k)+4(-1)^{n}[/tex]
[tex]= 4(3k+(-1)^{n})[/tex]

Og vi er i mål :wink:
Èg er Islendingur :P
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Kjempeflott! Det stemmer. Der var formodningen bevist ved matematisk induksjon. Nå er det åpent for andre å komme med flere beviser.
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Legg merke til at 3 == -1 (mod 4)!
fbhdif
Cayley
Cayley
Innlegg: 74
Registrert: 22/03-2007 17:48

Denne løser seg vel strengt tatt selv?

3==3==-1 mod 4

3^n==(-1^n) mod 4
3^n-(-1^n)= 0mod 4 => 4|(3^n-(-1)^n)

?
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Ja
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Jada, null problem med modulær aritmetikk, men et slikt tallteoretisk verktøy er det jo ikke alle som kjenner til. Nok en løsning følger fra faktorisering:

[tex]3^n - (-1)^n = (3 - (-1))(3^{n-1} + 3^{n-2}(-1) + ... + (-1)^{n-1}) = 4k[/tex]
Sist redigert av daofeishi den 20/10-2007 04:46, redigert 1 gang totalt.
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Når folk er våkne i Kina, bør det vel bli på tide å komme seg i seng i Norge, eller?;)
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Ja, hvis ikke døgnrytmen din i utgangspunktet befinner seg i kinesisk tidssone. Det kjenner jeg godt til, som det B-mennesket jeg er. ;)
Svar