en litt morsom oppgave jeg fant
Hva er summen av de reelle røttene til
[tex]x^3-3x^2+3x+1=0[/tex]
den er fullt mulig å løse uten å ha kunnskap om den generelle løsning til en tredjegradsligning (det er vel det som er meningen). Sikkert litt enkel for noen her da
Oppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi har at en tredjegradsfunksjon med tre røtter kan skrives slik:
[tex]n(x-a)(x-b)(x-b) = nx^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc[/tex]
Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).
Her vil summen av de relle og de imaginære røttene [tex](a+b+c) =3[/tex]
De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent [tex]-0.259921[/tex] ifølge kalkulatoren.
Kan uansett lage en regel:
For en tredjegradsfunksjon [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] med røtter [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] vil summen av disse være lik -ba
Altså:
[tex]x_1+x_2+x_3=-ba[/tex]
Dette er med imaginære røtter da.
[tex]n(x-a)(x-b)(x-b) = nx^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc[/tex]
Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).
Her vil summen av de relle og de imaginære røttene [tex](a+b+c) =3[/tex]
De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent [tex]-0.259921[/tex] ifølge kalkulatoren.
Kan uansett lage en regel:
For en tredjegradsfunksjon [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] med røtter [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] vil summen av disse være lik -ba
Altså:
[tex]x_1+x_2+x_3=-ba[/tex]
Dette er med imaginære røtter da.
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvis det i ligninga [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex] gjelder at [tex]a^2=3b[/tex], er den ikke så vanskelig å løse.
Se på [tex]x^3+ax^2+\frac{a^2}3x+c=0[/tex] og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?
Se på [tex]x^3+ax^2+\frac{a^2}3x+c=0[/tex] og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?