3MX -> En liten oppklaring

[Jippi]

Hei

Driver å sliter med noe i kapitel 2: Trigonometri

Møter på oppgaver som:

1) sin2x = -0,5

2) tan3x = 3

3) cos3x = 0

Det jeg lurer på er vel hva i all verden jeg skal gjøre når tallet står mellom sin/cos/tan og X ??

Jeg vet at det er noen formler for feks. sin2v og cos2v osv, men får det ikke til å stemme!!

Spm. 1) Hvordan skal jeg tenke?

Spm. 2) Hvordan blir utrekningene her?

Spm. 3) Hva er forskjellen på feks. tan2x og 2tanx?

På forhånd takk!

[Olorin]

Det er stor forskjell på hvordan du behandler en funksjon som har cos(2x) eller 2cos(x), det som står inne i parentesen har noe med periode å gjøre så vidt jeg husker..

1) Hvordan skal du tenke? kan vise deg to enkle, og like ligninger som gir forskjellige svar

[tex]2\sin(2x)=1[/tex]

[tex]2\sin(x)=1[/tex]

Første eksempel:
[tex]2\sin(2x)=1[/tex]
[tex]\sin(2x)=\frac12[/tex]
tar invers sinus på begge sider for å opphøye sinus

[tex]\arcsin(\sin(2x))=\arcsin(\frac12)[/tex]

Dette gir en av 2 generelle løsninger:

[tex]2x=30+360\cdot n[/tex]

Denne kan du løse med å dividere med 2 på begge sider

[tex]x=15+180\cdot n[/tex]


--

Neste eksempel:

[tex]2\sin(x)=1[/tex]

[tex]\sin(x)=\frac12[/tex]

invers sinus på begge sider:

[tex]\arcsin(\sin(x))=\arcsin(\frac12)[/tex]

[tex]x=30+360\cdot n[/tex]

Prøv å tegn opp dette i en enhetssirkel og du vil se at det er mange flere løsninger for sin(2x) enn sin(x)


Jeg har brukt radianer isteden for grader i dette eksempelet.

[Jippi]

Olorion: Ser at du for det meste bruker radian-eksempler på oppgaveløsningene dine til ferske 3MX-elever 2007. Dette er noe som fører til problemer. Vi lærer ikke om radianer før i kapittel 6, "periodiske funksjoner". Før 2002 var det slik at radianer kom tidlig i tredje året, under kapittel 2, men nå har det altså blitt nytt; Vi vet ingenting om radianer enda!

Dette fører til at vi rett og slett ikke skjønner eksemplene du gir oss. Ikke noe kritikk, men bare så du vet det til en senere anledning "Invers sinus", som et eksempel, står, enn så lenge for oss, i fremmedordboken.


Slik som i denne oppgaven; kan du ikke regne den med grader? Da hadde jeg blitt takknemmelig.
Altså: Hele oppgaven sin2x = -0,5

[Olorin]

invers sinus er det samme som [tex]sin^{-1}[/tex] eller arcsin som du lærer det heter senere.

skal endre det ovenfor til grader, jeg trodde faktisk dere lærte om radianer i 2MX:P ikke helt oppdater med andre ord.

Dere har lært om enhetssirkelen? Denne er et nyttig hjelpemiddel når du skal finne alle løsninger for x i en trigonometrisk funksjon

til eksempelet ditt:

[tex]\sin(2x)=-\frac12[/tex]

[tex]2x=\sin^{-1}(-\frac12)[/tex]

[tex]2x=-30^\circ + 360^\circ\cdot n[/tex]

[tex]x=-\frac{30^\circ}2+\frac{360^\circ\cdot n}2[/tex]

[tex]x=-15^\circ+180^\circ\cdot n[/tex]

Klarer du å finne den andre generelle løsningen ved hjelp av enhetssirkelen?

[Jippi]

Det tror jeg at jeg skal få til, men denne har jo 4 løsninger..?

Bruker enhetssirkelen MYE ja! For å finne den andre løsningen, må man ta 180 grader - 15 grader = 165 grader ...?

Hadde vært best om du hadde regnet ferdig denne helt, med alle løsningene, fordi da har jeg en "oppskrift" til videre oppgaver.

På forhånd takk

mvh
Erlend

(Fasitsvarene er -75 grader, -15 grader, 105 grader, 165 grader)

Deffmengde er fra -180 til 180 grader

[Olorin]

Er det noen definisjonsmengde ? feks x skal være mellom 0 og 360?

prøv å sett inn for n=0, n=1, n=2 osv. Sett inn i funksjonen og se om det stemmer

[Jippi]

Er det noen definisjonsmengde ? feks x skal være mellom 0 og 360?

prøv å sett inn for n=0, n=1, n=2 osv. Sett inn i funksjonen og se om det stemmer

Har da skrevet det helt til slutt:) -180 til 180.

Har et spørsmål 2 også:
Vi lærer at
[tex]cos2x=cos^2x - sin^2 x[/tex]
[tex]cos2x=2cos^2x - 1[/tex]
[tex]cos2x=1 - 2 sin^2v[/tex]
[tex]sin2x=2*sinx*cosx[/tex]

Hvis du ville, kunne du da ha satt inn 2*sinx*cosx isteden for sin 2x i oppgaven vår??

Skjønner ikke helt når du skal bruke hva, om du skjønner!

Annet eksempel:
Har cos2x=0,89
Kan jeg da skrive:
[tex]cos^2x - sin^2x = 0,89[/tex]

?

[Jippi]

Skriv også hvordan du tenker når du skal få frem alle svarene.

-15 grader er grei, skjønte det..

Men hvilken regel er det da for å finne neste vinkel?

[Olorin]

Du får to generelle løsninger

x=-15+180*n

og 2x=-150+360*n

1) x=-15+180*n

2) x=-75+180*n

sett inn n=0, n=1, n=2 osv se hvilke svar du får som passer i definisjonsmengden, vet ikke helt hvoran jeg skal forklare det bedre.

Du ser hvilke generelle løsninger du får ved hjelp av enhetssirkelen.

svarene i ligning 1) finner du i n=0 og n=1

x=-15+180*0 = -15
x=-15+180*1=165

i ligning 2) n=0 og n=1

x=-75+180*0=-75
x=-75+180*1=105

Jeg har vist deg hvordan du løser en sin(2x) ligning, samme gjelder for cos(2x) , tan(2x) osv.

[Jippi]

Okay, takk.

Men er det noen som vet når jeg skal bruke de verdiene for cos2x og sin2x?? (skrevet i to poster tidligere, under "spm. 2")

Er det ikke litt rart at jeg ikke kan bruke de på akkurat disse oppgavene?

[Jippi]

Vet du svaret olorion? Går det ann å sette

sin2x = -0,5
2*sinx*cosx = -0,5

Regner med at der er lov?

[Olorin]

Det er lov, men det blir ikke så lett å løse den, omskrivinger er nyttig i mange tilfeller der du har et uttrykk som ikke kan løse for hånd, som feks 2sinxcosx, da kan du skrive den om til sin(2x) og den er da fullt løselig

[Landis]

Annet eksempel:
Har cos2x=0,89
Kan jeg da skrive:
[tex]cos^2x - sin^2x = 0,89[/tex]
?

Det kan du, men det er tungvint. Du får da

cos^2x - sin^2x = 0,89
(1-sin^2x) - sin^2x = 0,89
1 - 2sin^2x = 0,89
2sin^2x = 0,11
sin^2x = 0,055
sin x = +/- rota av 0,055
osv.